理论力学 第13章 虚位移原理及拉格朗日方程

理论力学第三篇 动 力 学Theoretical Mechanics

第13章 虚位移原理及拉格朗日方程

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第13章 虚位移原理及拉格朗日方程

目录

13.1 主要内容

13.2 基本要求13.3 重点讨论 13.4 例题分析

13.5 典型习题

Theoretical Mechanics

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第13章 虚位移原理及拉格朗日方程

13.1 主要内容

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第13章 虚位移原理及拉格朗日方程13.1 主要内容

13.1.1 虚位移的基本概念 1.约束及其分类 (1)约束和约束方程 非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束。 用解析表达式表示的限制条件称为约束方程。 (2)约束的分类 a .几何约束和运动约束 b .定常约束和非定常约束 c .完整约束和非完整约束 d .双面约束和单面约束 约束方程的一般形式应为 f j x1 , y1 , z1 , , xi , yi , zi 0Theoretical Mechanics

i=1,2,…,n, j=1,2,…,s

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2.自由度 广义坐标 (1)自由度 a.设某质点系由n个质点、s个完整约束组成。则自由度数 k为 k=3n–s 若质点系为平面问题，则 k=2n–s b.设某质点系由n个刚体、s个完整约束组成。则自由度数 k为 k=6n–s 若为平面问题，则为 k=3n–s (2)广义坐标 用来确定质点系位置的独立变参量称为广义坐标。在完整 约束的质点系中，广义坐标的数目等于该系统的自由度数。Theoretical Mechanics返回首页

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13.1.2 虚位移 虚功 (1)在给定的位置上，质点系为所有约束所允许的无限 小位移，称为此质点或质点系的虚位移。 虚位移有三个特点：第一，虚位移是约束所允许的位移； 第二，虚位移是无限小的位移；第三，虚位移是虚设的位移； 虚位移用 ri表示，以区别于实位移dri。这里的“ ”是等时变 分算子符号，简称变分符号。在虚位移原理中,它的运算规则 与微分算子“d”的运算规则相同。 (2)虚功 作用于质点上的力在该质点的虚位移中所做的元功称为虚 功，则虚功的表达式为

WF F rTheoretical Mechanics返回首页

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(3)理想约束 在质点系的任何虚位移中，如果约束力所做的虚功之和 等于零，这种约束称为理想约束。则理想约束的条件可以表 示为

WN N i ri 0i 1

n

例如：①光滑面约束； ②光滑铰链约束； ③对纯滚动刚体的固定面约束； ④无重钢杆(二力杆)约束； ⑤不可伸长的绳索约束。 都是理想约束。Theoretical Mechanics返回首页

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13.1.3 虚位移原理及应

用 (1) 虚位移原理： 具有理想约束的质点系，在给定位置 保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动 力在任何虚位移中所做的虚功之和等于零，即

WF 0虚位移原理的矢量表达式为

F ri i 1

n

i

0

在直角坐标系的投影表达式

X x Y y Z z 0i 1 i i i i i i

n

以上各式也称为虚功方程。Theoretical Mechanics返回首页

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(2)虚位移原理一般可用来分析以下两类平衡问题。 a. 已知质点系处于平衡状态，求主动力之间的关系或平 衡位置。 b.已知质点系处于平衡状态，求其内力或约束力。 在此情况下，需要解除对应的约束，用相应的约束力代替，使 待求的内力或约束力“转化”为主动力。 (3)用广义力表示质点系的平衡条件 具有完整、双面、定常的理想约束的质点系，在给定位置 保持平衡的必要和充分条件是：对应于每一个广义坐标的广义 力均等于零，即 Qh=0 h=1,2,…,k 直角坐标系下的广义力表达式为 xi yi zi Qh Fxi q Fyi q Fzi q i 1 h h h n

也可用几何法表示为Theoretical Mechanics

WF Qj q j

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13.1.4平衡稳定性的概念 在保守系统中： (1)受到微小的扰动而偏离平衡位置后，它能返回到原平 衡位置，这种平衡状态称为稳定平衡。 (2)受到微小的扰动后，再也不能回到原平衡位置，这种 平衡状态称为不稳定平衡。 (3)不论在哪个位置，总是平衡的，这种平衡状态称为随 遇平衡。单自由度系统平衡稳定性的判别方法： 如果质点系在坐标q=qo的位置上是平衡的，那么它的势 能具有极值，即dV dqTheoretical Mechanics

0q qO

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若 若

d 2V dq2 q qO

0稳定平衡

若

d 2V dq2 q qO

0

不稳定平衡

d 2V dq2 q qO

0

则需要分析更高的偶数阶导数的正、负性质，才能判别 平衡的稳定性。 若d 4V dq4 q qO

0

稳定平衡状态

反之，则为不稳定平衡状态。 d 3V dq3 q qO

若

d 2V dq2 q qO

d 4V dq4 q qO

0

则该系统处于随遇平衡状态。Theoretical Mechanics返回首页

第13章 虚位移原理及拉格朗日方程13.1 主要内容

13.1.5 动力学普遍方程 在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质 点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所做虚功之和 等于零，即

F m a r 0i 1 i i i i

n

这就是动力学普遍方程(也称为达朗贝尔—拉格朗日方程)。

写成直角坐标系上的投影式为

Fn i 1

xi

i xi Fyi mi i yi Fzi mi i zi 0 mi x y z

在动力学普遍方程中不包含约束力。Theoretical Mechanics返回首页

第13章 虚位移原理及拉格朗日方程13.1 主要内容

13.1.6

拉格朗日方程

将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立了动力学普 遍方程，避免了理想约束力的出现，再将普遍方程变为广义 坐标形式，进一步转变为能量形式，可导出第二类拉格朗日 方程，实现用最少数目的方程描述动力系统，即d T T =Qh h qh dt q

h=1,2,…,k

这是一个方程组，方程的数目等于质点系的自由度数， 称之为第二类拉格朗日方程，简称为拉格朗日方程。它揭示 了系统动能的变化与广义力之间的关系。 若引入拉格朗日函数：d L L ( ) 0 j d t q q jTheoretical Mechanics

L T V( j 1,2, , k )

保守系统的拉格朗日方程。

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第13章 虚位移原理及拉格朗日方程

13.2 基本要求

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第13章 虚位移原理及拉格朗日方程 13.2 基本要求

13.2 基本要求

1.对约束方程、理想约束和虚位移有清晰的概念。2.会计算虚位移的关系(几何法、虚速度法、变分法)。 能正确地运用虚位移院里求解物系的平衡问题。 3.对广义坐标、自由度、广义力和广义坐标形式的虚位移 原理有初步的理解，并会计算广义力。

4.理解动力学普通方程的基本概念。能正确运用动力学普通方程解决动力学问题。 5.能正确运用拉格朗日方程求解动力学问题，并判断物体 运动的稳定性。Theoretical Mechanics返回首页

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