线性代数 1.3 行列式的性质

§1.3 行列式的性质

D

a11 a 21 a n1

a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn,

,

DT

a11 a12 a1 n

a 21 a 22 a2n

a n1 an2 a nn

DT行列式称为行列式D的转置行列式.

性质1行列式与它的转置行列式相等.(故行列式对行有的性质对列也有)a11 a21 an1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann

D

a11 a21 a12 a22 T=D= a1n a2 n

an1 an 2 ann

,

a11 a12 a1n a21 a22 a2n D an1 an 2 ann p1 p2 pn

1

t p1 p2 pn

a p11a p2 2 a pn 2

性质2互换行列式的两行(列),行列式变号.a11 a21 a12 a22 a1n a2 n an1 a21 a22 an 2 a11 a12= ann a1n a2 n an 2 an1 ann

性质3如果行列式两行(列)完全相同，则此行列式为0.

性质4行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。ka11 ka12 a21 a22 an1 an 2 ka1n a11 a12 a2 n a21 a22=k ann an1 an 2 a1n a2 n ann

性质5行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于0.ka11 ka12 a21 a22 an1 an 2 ka1n a2 n 0 ann

性质6若行列式中某一行(列)元素均为两数之和，则行列式可按照该行分拆成两个行列式之和，其他各行保持不变. (每次只能按照一行或者一列分拆)

a11 a11 a21 a21 1 an1 an a11 a21 an1

a12 a1n a22 a2 n an 2 ann a11 a21 1 an a12 a1n a22 a2 n an 2 ann

a12 a1n a22 a2 n an 2 ann

性质7把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式值不变. (注意哪一行(列)的数在变，哪一行(列)的数没变.)

a11 a21 an1

a12 a1n

a11 ka12

a12 a1n a22 a2 n an 2 ann

a22 a2 n c1 kc2 a21 ka22 an 2 ann an1 kan 2

行列式关于行的三种运算:

(1) ri rj 表示两行对调，行列式变号

(2) ri k 表示第i行乘以k倍，值扩大k倍 (3) ri krj 第j行的k倍加到第i行去，值不变

行列式关于列的三种运算:

(1) ci cj 表示两列对调，行列式变号

(2) ci k 表示第i列乘以k倍，值扩大k倍 (3) ci kcj 第j列的k倍加到第i列去，值不变

例1

设 aij 3 3 1,则

4a11 4a21 4a314a11 4a21

2a11 3a12 2a21 3a22 2a31 3a322a11 3a12 2a21 3a22 2a31 3a32

12 a23 ________ a33a13 a23 a33

a13

解： 4a 31

4a11 4a21 4a31

2a11 2a21 2a31

a13

4a11

3a12 3a22 3a32

a13 a23 12. a33

a23 4a21 a33 4a31

例2

证明

a1 b1

b1 c1

c1 a1

a1 b1 c1 a3 b3 c3

a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 a2 b2 c2 a3 b3 b3 c3 c3 a3

证明：a1

b1 a2 b2 a3 b3 b1 c1 b2 c2 b3 c3 c1 a1 a1 c2 a 2 a 2 c3 a3 a3 b1 c1 b2 c2 b3 c3 c1 a1 b1 c2 a2 b2 c3 a3 b3 b1 c1 b2 c2 b3 c3 c1 a1 c2 a 2 c3 a3

a1 a2 a3

b1 c1 b2 c2 b3 c3

c1 b1 c2 b2 c3 b3

c1 c2 c3

c1 a1 a1 c2 a 2 a 2 c3 a3 a3

b1 b2 b3

c1 b1 c2 b2 c3 b3

c1 c2 c3

a1 a2 a3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 b1 c2 b2 c3 b3

a1 a2 a3

c1 a1 c2 a 2 c3 a3

b1 b2 b3

c1 a1 c2 a2 c3 a3

b1 b2 b3

c1 a1 c2 2 a2 c3 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

行列式计算的方法之一：任一n阶行列式均可以只经过行(列)变换化为上(下)三角形行列式

a11 D a21 an1

a12

a1n

p11 p22

* pnn0 q22 qnn

a22 a2 n 0 an 2 annq11或 *

a11 a1k

0b11 b1n bn1 bnn

例3设 D

ak 1 akk c11 c1k cn1 cnk

a11 a1k D1 ak 1 akk证明： D D1D2

b11 b1n bn1 bnn

, D2

证明：

a11 a1k D1 = ak1 akk b11 b1n

p11 p22 * q11 q22

0 pkk 0 qnn

, D2 * bn1 bnn