非参数统计 多总体统计推断

数学与统计学院

第五章 多总体统计推断胡雪梅QQ:182048520 E-mail:huxuem@http://www.77cn.com.cn

本章内容

多组数据位置推断多总体检验问题：H0 : F1 Fk H1 : Fi (x) F(x i ),i 1, , k

假定总体是连续的, 且除位置参数不同以外,分布 是相似的. 一般用方差分析方法解决，不管哪一类方差分析方 法，都需要作正态分布假定，如果正态分布假定不成立， 则可借助秩的方法解决。

Kruskal-Wallis单因素方差分析基本原理：类似处理两个样本相关性位置检验的W-M-W

方法类似，将多个样本混合起来求秩，如果遇到打结的情况，采用平均秩，然后再按样本组求秩和。

检验方法计算第j组的样本平均秩：

R. j

R. j nj

nj i 1

Rij

nj

n( n 1) R.. i 1 i , 2n

分析 R. j 服从什么分布. n个对象

其中n nii 1

k

所有可能分配方法 n n1 n2 nk

n1

n2

nk

检验方法在H0的假定下,具有等可能性:PH 0 {R. j r. j , j 1, 2, , k} n1 n2 nk 1 n

定理5.1 在H0的假定下E ( R. j ) n 1 , 2 var( R. j ) n 1 12

( n n j )(n 1) 12n j

cov( R.i , R. j )

在H0的假定下,

R. j

n 1 , 2

j 1, 2,..., k

检验方法混合数据各秩的平方和:

Rij 12 22 n 2 n(n 1)(2n 1) / 6

2

混合数据各秩的总平方和为SST ( Rij R.. ) 2 Rij 2 R..2 / ni 1 j 1 ni k

n(n 1)(n 1) / 12.

总均方为 MST=SST/(n-1)=n(n+1)/12

检验方法同样有分解公式:( Rij R.. ) 2 ( Rij R. j R. j R.. ) 2 i 1nj j 1 j 1 i 1 k nj k k nj

( Rij R. j ) 2 ( R. j R.. ) 2j 1 i 1 j 1 i 1

k

nj

总离差平方和 = 组内离差平方和 + 组间离差平方和 因此, 考虑统计量为

SSt 2 H ~ (k 1) MST当T 大于某临界值时, 拒绝H 0 , 否则接受H 0。

检验方法对秩仿照方差分析原理：得到Kruskal-Wallis的H统计量：

2 2 (k 1) ,当 H ,(k 1)的时候 在零假设情况下，H近似服从

拒绝零假设。

对比其中每两组差异对比其中每两组差异的时候，用Dunn(1964)年提出用：d ij | R.i R. j | / SE

其中

n(n 1) 1 1 SE 12 ni n j *

* 如果| d ij | Z1 那么表示i和j两组之间存在差异， / k(k 1) , 为标准正态分布分位数。 Z

用R软件计算: > x<c(80,203,236,252,284,368,457,393,133,180,100,160,156,295,320,4 48,465,481,279,194,214,272,330,386,475) > y<-c(1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4) > kruskal.test(x,y) y<-c(rep(1,8),rep(2,4),rep(3,7),rep(4,6)) Kruskal-Wallis rank sum testdata: x and y Kruskal-Wallis chi-square = 8.0721, df = 3,

p-value = 0.0445 alternative hypothesis: two.sided 结论: 接受H1, 认为组与组之间有差异.

用Dunn方法进行两两之间的比较： SE 比较式A-B A-C A-D B-C B-D C-D

n(n 1) 1 1 n 12 i n j dij1.9969 0.9714 0.4277 2.7531 2.252 0.4884

|MR.i-MR.j|13-4=9 |13-16.7|=3.7 |13-14.7|=1.7 |4-16.7|=12.7 |4-14.7|=10.7 |14.7-16.7|=3

SE4.5069 3.809 3.9747 4.613 4.7507 4.0946

Z0.99582.636 2.636 2.636 2.636 2.636 2.636

二、有结点的检验 H的校正公式为：Hc 1 2 当H c ,k 1时,

H

( j 1

g

3 j

j )

n3 n

则拒绝H0,否则接受H0。

两组样本之间的差异公式修改为：g 3 ( j j ) 1 1 n(n 1) j 1 SE 12 12(n 1) ni n j

例5.2假设有三个生产番茄的土地产量(单位：公斤/亩)如下 表所示，试比较三种番茄品种产量的优劣。A 2.6 2.4 2.9 3.1 2.4 秩和R.j 重复nj 秩平均MR.j 秩 (9) (5.5) (11.5) (14) (5.5) 45.5 5 9.1 B 3.1 2.9 3.2 2.5 2.8 3.1 秩 (14) (11.5) (16) (7.5) (10) (14) 73 6 12.17 C 秩 2.5 (7.5) 2.2 (4) 1.5 (3) 1.2 (1) 1.4 (2) 17.5 5 3.5

H0: 三种番茄产量相同，H1:三种番茄产量不同