2014—2015学年高一数学必修四随堂练习及答案：14三角函数的应用

高一随堂练习：三角函数的应用

1．一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m（即OM长），巨轮的半径为30m，AM BP 2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t)m，则h(t)=（ ）

ππππt ) 30 B.30sin(t ) 30 12262

ππππC.30sin(t ) 32 D.30sin(t 6262A.30sin(

2．已知函数f(x) Asin( x ) b（A、 0,0

，b为常数)一段图像如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式； (2)将函数y f(x)的图像向左平移 个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来12

的4倍，得到函数y g(x)的图像，求函数g(x)的单调递增区间.

3．如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到A点(距平衡位置最远处)开始计时．(1)求物体离开平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式；(2)

求该物体在t＝5 s时的位置．

试卷第1页，总2页

4．受日月引力的作用，海水会发生涨落，这种现象叫潮汐. 在通常情况下，船在海水涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后返回海洋.某港口水的深度y(m)是时间t(0 t 24，单位：h)的函数，记作：y f(t)，下表是该港口在某季每天水深的数据：

经过长期观察y f(x)的曲线可以近似地看做函数y Asin t k的图象.

（Ⅰ）根据以上数据，求出函数y f(t)的近似表达式；

（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰到海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5m，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？

试卷第2页，总2页

参考答案

1．B

【解析】

考点：在实际问题中建立三角函数模型．

2．（1）f(x) 3sin(2x ) 2；（2）[4kπ

【解析】 π65ππ，4kπ ]，k Z 33

ymax yminy ymin15 、A max ，可与T 224126

2 计算出b、k、T的值，然后由公式 计算出 ，最后再由图像过点(,5)得到T6试题分析：（1）观察图像并由公式b

sin(2

6 ) 1，结合0 可确定 的值，从而确定函数f(x)的解析式；（2）

π) 3sin(2x ) 2，再将所得图像上各点的123

11π1π横坐标扩大为原来的4倍得到函数g(x) h(x) 3sin(x ) 2，最后将x 当作42323y f(x)的图像向左平移得h(x) f(x

整体，由正弦函数的单调增区间可求出函数g(x)的单调增区间.

试题解析：（1）由已知，A

所以 2 5 ( 1)5 ( 1)5ππ 3，b 2，因为T ( ) 4 π，22126

3

πππ 2 ，解得 626

π所以函数f(x)的解析式为f(x) 3sin(2x ) 2 6分 6

π（2）将函数y f(x)的图像向左平移个单位后得到的函数解析式为12

πππy 3sin[2(x ) ] 2，in(2x ) ，即y 3s再将图像上各点的横坐标扩大为原1263

1π来的4倍，得g(x) 3sin(x ) 2 23

π1ππ5ππ x 4kπ 由2kπ x 2kπ+，得4kπ 223233

5ππ，4kπ ]，k Z 10分. 故g(x)的单调递增区间为[4kπ 33由“五点法”作图，

考点：1.三角函数的图像与性质；2.三角函数的图像变换.

3．（1）x 3cos

【解析】

试题分析：（1）根据正弦型函数y Asin(wx )的物理模型为简谐运动.，因此可设所求函数解析式为x Asin(wx )(A,w 0,0 2 )，根据A,w, 分别表示简谐运动的振幅，周期，初相的物理意义，与条件中描述的振幅为3cm，周期为3s以及距平衡位置最2 t；（2）O点左侧且距O点1.5 cm处. 3

, 远处开始计时可求得A 3w

x 3sin(2 ， ，从而得到函数表达式为322 2 t ) 3cost；（2）在（1）中求得的函数表达式中令t=5，可得x=-1.5，323

即可求得物体在t=5s时的位置.

（1）设位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式为x Asin(wx )(A,w 0,0 2 )， 则由已知条件，振幅为3cm，周期为3s可得，A=3，T 2 2 3，得w . 3w

又∵物体向右运动到A点（距平衡位置最远处）开始计时，∴当t＝0时，有x 3sin 3，∴sin 1，又∵0 2 ，∴

2，从而所求的函数关系式是

2 2 t ) 3cost； 323

10 1.5，故该物体在t＝5 s时的位置是在O点左侧且距O（2）令t＝5，得x 3cos3x 3sin(

点1.5 cm处．.

考点：正弦型函数y Asin(wx )的物理模型简谐运动.

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4．（Ⅰ）y 3sin

6t 10；（Ⅱ）在港口内最多停留16小时.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）分析表格数据可得周期、振幅，然后求解析式；（Ⅱ）通过分析解三角不等式.

试题解析：（Ⅰ） 函数y f(t)可以近似地看做y Asin t k，

由数据知它的周期T 12，振幅A 3，k 10 3分 2

12， 6. 故y 3sin6t 10 6分

（Ⅱ）该船进出港口时，水深应不小于6.5 5 11.5m，而在港口内，永远是安全的，由3sin

6t 10 11.5得sin 6t 1

2 9分

2k

6

6t 2k 5

6,k Z,即12k 1 t 12k 5(k N),

在同一天内，取k 0.1,则1 t 5或13 t 17 11分

故该船最早能在凌晨1时进港，最迟在下午17时离港，在港口内最多停留16小时. 12分

考点：三角函数的图像与性质.

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