2018_2019高中数学第二章平面解析几何初步2.3.1圆的标准方程练习

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2.3.1 圆的标准方程

1圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是()

A.π

B.2π

C.2π

D.2π

,故周长为2π·=2π.

2圆(x-2)2+(y+3) 2=2上的点与点(0,-5)的最大距离为()

A. B.2 C.4 D.3

(2,-3),点(0,-5)与圆心的距离为=2,又圆的半径为,

故所求最大距离为2=3.

3从点P(3,b)向圆(x+2)2+(y+2)2=1作切线,则切线长的最小值为()

A.5

B.4

C.5.5

D.2

d=,故当b=-2时,

d 取最小值2.

4三颗地球通讯卫星发射的信号即可覆盖全球,若设赤道大圆的方程为x2+y2=R2(R为地球半径),三颗卫星均可分布于赤道上空,则三颗卫星所在位置确定的圆的方程为()

A.x2+y2=2R2

B.x2+y2=4R2

C.x2+y2=8R2

D.x2+y2=9R

2

R,则方程为x2+y2=4

R2.故选B.

1

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2 5方程y=-

表示的曲线是( ) A.一条射线 B.一个圆

C.两条射线

D.半个圆

y 2=12-x 2,于是x 2+y 2=12,但y ≤0,故该方程表示的曲线是一个半圆,

即圆

x 2+y 2=12

位于x 轴下方的部分.

6圆心在直线2x-y-7=0上的圆C 与y 轴交于两点A (0,-4),B

(0,-2),则圆C 的方程

为 .

C (a ,b ),则

即

且|AC|=|BC|=r=.

故(

x-2)2+(y+3)2=5为所求.

x-2)2+(y+3)2

=5

7圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+2y-3=0对称的圆的方程是

.

x+2y-3=0对称的两圆半径相等,圆心连线被直线x+2y-3=0垂直平分.

设所求圆的方程为(x-a )

2+(y-b )2=1. 由题意得

解得

故所求圆的方程为=1.

=1

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3 8已知线段AB 的端点B 的坐标为(4,0),端点A 在圆x 2+y 2

=1上运动,则线段AB 的中点的轨迹方程为 .

x-2)2+y 2= 9若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线y=x (x ≥0)相切,试求这个圆的标准方程.

(1,b )(

b>0).根据该圆与直线y=x 相切,

得

=1??b=,故所求圆的方程为(x-1)2+(y-)2

=1. 10已知点A (0,2)和圆C :(x-6)2+(y-4)2

=,一条光线从点A 出发射到x 轴上后沿圆的切线方向反射,求这条光线从点A 到切点所经过的路程.

D ,点A 关于x 轴的对称点的坐标为A 1(0,-2),则光线从点A 到切点所走的路程为|A 1D|. 在Rt △A 1CD 中,|A 1D|2=|A 1C|2-|CD|2=

(-6)2+(-2-4)2-.

所以|A 1D|=,即光线从A 点到切点所经过的路程是

. 11已知点P 是圆C :(x-3)2+(y-4)2=1上的任意一点,点A (-1,0),B (1,0),试求|PA|

2+|PB|2的最大

值和最小值.

,转化为求圆C 上的点与原点距离的最值.

P (x ,y ),则有|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y 2+(x-

1)2+y 2=2x 2+2y 2+2=2()2+2=2[]2+2=2|OP|2

+2, 由题意得|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6,最小值是|OC|-r=5-1=4.

所以|PA|2+|PB|2的最大值是2×62+2=74,最小值是2×42

+2=34.

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4 ★12有一种大型商品,A ,B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后,回运的费用是:每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍,已知A ,B 两地距离10千米,顾客选A 或B 地购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低,求A ,B 两地售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.

,以A ,B 所确定的直线为x 轴,A ,B 中点O 为坐标原点,建立直角坐标系,则A (-5,0),B (5,0).

设某地P 的坐标为(x ,y ),且P 地居民选择A 地购买商品便宜并设A 地的运费为3a 元/千米,B 地的运费为a 元/千米.

价格+每单位距离运费×到A 地的距离≤价格+每单位距离运费×到B 地的距离,

即3a ≤a ,

∵a>0,∴3

, 即+y 2≤.

∴以点C 为圆心,为半径的圆是这两地购货的分界线.

圆C 内的居民从A 地购货便宜.

圆C 外的居民从B 地购货便宜.

圆C 上的居民从A ,B 两地购货的总费用相等,因此,可随意从A ,B 两地之一购货.