文科数学第四章 微分中值定理与导数的应用练习题及详解

第四章 练习题 中值定理与导数的应用

一、中值定理与单调性

1.函数f(x) x3 x在[0，3]上满足罗尔定理的 ___________

A.0 B.3 C.3/2 D.2

a ba b lna lnb ab

3.当x 0时,ln(1 x) x. 2.设a b 0，证明：

4.sinx2 sinx1 x2 x1.

二、单调性、凹凸性与极值

1.如果在（a,b）内，恒有f (x) 0，则函数f(x)在（a,b）内 .

2.如果在（a,b）内，恒有f (x) 0，则函数f(x)在（a,b）内 .

3.如果在（a,b）内，恒有f (x) 0，则函数f(x)在（a,b）内 .

4.如果在（a,b）内，恒有f (x) 0，则函数f(x)在（a,b）内 .

5.判定函数y x sinx在[0 2]上的单调性与凹凸性．

6.求函数y x3 x2 1的单调区间，极值点和极值.

7.求函数y x2 x 4的单调区间，极值点和极值.

8.设x1 1,x2 2均为函数y alnx bx2 3x的极值点，求a,b的值．

9.设f(x)在点x0处连续,在x0的某个去心邻域内可导,且当x x0 时,(x x0)f'(x) 0,则( )

A.f(x0)为极大值 B. f(x0)为极小值

C.x0为f(x)的驻点 D. x0不是f(x)的极值点

10.函数y f(x)在点x x0处取得极大值，则必有（ ）.

A.f (x0) 0. B. f (x0) 0且f (x0) 0.

C. f (x0) 0. D. f (x0) 0或f (x0)不存在.

11.函数y f(x)在点x x0处可导且取得极大值，则必有（ ）.

A.f (x0) 0且f (x0) 0. B. f (x0)不存在且f (x0) 0.

C. f (x0)不存在且f (x0) 0. D. f (x0) 0且f (x0) 0

三、最值

32 1 1.求函数f x x x3在闭区间 8, 上的最大值与最小值． 2 8

2.求函数f(x) x 2x 5在闭区间 2,2 上的最大值与最小值． 42

3.生产某种商品x个单位的利润是L x 5000 x 0.01x，（单位：元）．问：生产多少个单位时，获2

得的利润最大？

4.生产某种产品的利润函数是 L x 12x 45x 200（x表示产量件数）．问：生产多少件产品时，2

利润达到最小？

5.要用铁皮做一个容积为V的圆柱形带盖牛奶筒，问底圆半径为何值时用料最省？

6.传说古代迦太基人建造城市的时候，允许居民占有一天犁出的一条犁沟所围成的土地．假设一人一天犁出犁沟的长度是常数L．问所围土地是怎样的矩形，面积最大？

四、洛必达法则

ex e x 2xx31 11. lim x. 3. limx. . 2. limx 0x ex 0xx sinxe 1

2sinxxxlimx4

.lim. 5.lim. 6.. x 4x 4x 0 x 0

五、渐近线

1.函数y x 2的一条铅直渐近线是. x 1

x3

2.函数y x的一条水平渐近线是. e

第四章练习 答案

一、1. D.

二、1.单调递增，凹的. 2.单调递减. 3.凹的. 4.凸的. 5. 单调递增.

6.在( ,0]上单调递增，在[0,]上单调递减，在[, )上单调递增.

极大：x 0,f(0) 1，极小：x 2323223,f(0) . 327

113,f() 3. 2247.在( ,]上单调递减，在[, )上单调递增.极小：x

8.a 2,b 12121. 9.B. 10. D. 11.D. 2

11三、1.最大值f() f( 1) ，最小值f( 8) 2. 2.最大值f( 2) 17，最小值f( 1) 4. 82

3.50. 4.45. 5.

R

四、1.L 6 .边长是的矩形. 411. 2.2. 3.0. 4. . 5.1. 6.1. 24

五、1.x 1. 2. y 0.