高中数学1[1].3.1函数的单调性课件新人教版必修1

函数的基本性质1.3.1函数的单调性

思考1:观察下列各个函数的图象，并说说它 们分别反映了相应函数的哪些变化规律

注意：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的， 是函数的局部性质。

二、新知探究

图像法

如何描述函数图像的“上升”“下降” 呢？通俗语言：在区间(0,+∞)上， 随着x的增大，相应的f(x)也随着增大。 数学语言：在区间(0,+∞)上， 任取 x1 , x2 ,得 f ( x1 ) x12 , f ( x2 ) x2 2 ,

解析法 列表法

当 x1 x2 时，有 f ( x1 ) f ( x2 )。 这时我们就说函数 f ( x) x 在区间(0,+∞)上是增函数2

x …0 f(x) … 0

1 2 3 4 … 1 4 9 16 …

在区间I内y

在区间I内

y=f(x)f(x2)

图 象

f(x1)

·x1

·x2 x

y f(x1) f(x2)

y=f(x)

·x1

·x2 x

0

0

图象 特征数量 特征

在区间I内y

在区间I内

y=f(x)f(x2)

图 象

f(x1)

·x1

·x2 x

y f(x1) f(x2)

y=f(x)

·x1

·x2 x

0

0

图象 特征数量 特征

从左至右，图象上升

在区间I内y

在区间I内

y=f(x)f(x2)

图 象

f(x1)

·x1

·x2 x

y f(x1) f(x2)

y=f(x)

·x1

·x2 x

0

0

图象 特征数量 特征

从左至右，图象上升y随x的增大而增大

在区间I内y

在区间I内

y=f(x)f(x2)

图 象

f(x1)

·x1

·x2 x

y f(x1) f(x2)

y=f(x)

·x1

·x2 x

0

0

图象 特征数量 特征

从左至右，图象上升y随x的增大而增大

从左至右，图象下降

在区间I内y

在区间I内

y=f(x)f(x2)

图 象

f(x1)

·x1

·x2 x

y f(x1) f(x2)

y=f(x)

·x1

·x2 x

0

0

图象 特征数量 特征

从左至右，图象上升y随x的增大而增大

从左至右，图象下降y随x的增大而减小

在区间I内y

在区间I内

y=f(x)f(x2)

图 象

f(x1)

·x1

·x2 x

y f(x1) f(x2)

y=f(x)

·x1

·x2 x

0

0

图象 特征

从左至右，图象上升

从左至右，图象下降y随x的增大而减小

y随x的增大而增大 数量 特征 当x1<x2时， f(x1) < f(x2)

在区间I内y

在区间I内

y=f(x)f(x2)

图 象

f(x1)

·x1

·x2 x

y f(x1) f(x2)

y=f(x)

·x1

·x2 x

0

0

图象 特征

从左至右，图象上升

从左至右，图象下降

y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 数量 特征 当x1<x2时， f(x1) < f(x2) 当x1<x2时， f(x1) > f(x2)

由此得出单调增函数和单调减函数的定义. y yf(x2) f(x1) f(x1) f(x2) x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上

x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.

如果对于属于定义域A内某个区间I,

x ,x I1 2

当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 ),

当x1<x2时，都有 f (x1 )

x ,x I1 2

>

f(x2 ),

那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调 函数，I称为f(x)的单调 增 区间. 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间. 单

调区间

看下列函数图象,下列各函数有没有单调区间, 若有写出其单调区间.

图1

图2 减区间 ,0

图3 没有单调区间

没有单调区间

增区间 0,

(1)如果函数 y =f(x)在区间D是单调增函数或单 调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有 单调性。 区间D叫做y =f(x)的单调区间 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数 的图象是下降的。

(2)函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部 性质;有些函数在定义域内可能是单调的如 y=x;有些 函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分 区间上是减函数，还有的函数是非单调的，如 y=c,y=2x{x∈N|1≤x≤5} 判断1:函数 f (x)= x2 在 , 是单调增函数；y x2o x

y

(3) a) x 1, x b)

2

取值的任意性;不能以特素质代替

x1 , x2 必须有大小，一般令 x x 1 2

c)同属一个单调区间

判断2:定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1), 则函数 f (x)在R上是增函数；yf(2)

f(1)O 1 2x

例1:下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x), 根据图像说出函数的单调区间以及每一单调 区间上，它是增函数还是减函数？

解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)是减函数， 在区间[-2,1), [3,5] 上是增函数。

例2. 写出单调区间(1) y

——数形结合的思想

y

1 y x

1 ( x 0); x 1 y 的单调减区间是 _____________ ( , 0) , (0, ) x

?

x 能不能说 y

1 ( x 0)在定义域( , 0) (0, )上 x 是单调减函数? 不能

讨论1:

(4)若函数 f(x)在其定义域内的两个区间A,B 上都是增(或减)函数一般不能简单认为f(x)在 A∪B上是增(减)函数要了解某函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进 行观察是一种常用的方法，但这种方法比较粗略。严格地 说，它还需要进行证明。