2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块2 专题6 第1讲 排列、组合

专题六 概率与统计、算法、复数、推理与证明

第一讲 排列、组合与二项式定理

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1．考查排列、组合的实际应用．

2．考查二项式系数、常数项、二项式指定项的求解

.

1．(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(

)

A ．24

B ．18

C ．12

D ．9

[解析] 由题意可知E →F 共有6种走法，F →G 共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法，故选B.

[答案] B

2．(2017·全国卷Ⅰ)? ??

??1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( ) A ．15

B ．20

C ．30

D ．35

[解析] 对于? ????1＋1x 2(1＋x )6，若要得到x 2项，可以在? ??

??1＋1x 2中选取1，此时(1＋x )6中要选取含x 2的项，则系数为C 26；当在? ????1＋1x 2中选取1x 2时，(1＋x )6

中要选

取含x 4的项，即系数为C 46，所以，展开式中x 2项的系数为C 26＋C 46＝30，故选C.

[答案] C

3．(2015·湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )

A ．212

B ．211

C ．210

D ．29

[解析] ∵(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为C 3n ，C 7n ，∴

C 3n ＝C 7n ，得n ＝10.

对(1＋x )10，

令x ＝1，得(1＋1)10＝C 010＋C 110＋C 210＋C 310＋…＋C 1010＝210，①

令x ＝－1，得(1－1)10＝C 010－C 110＋C 210－…＋C 1010＝0，②

利用①＋②可得2×(C 010＋C 210＋…＋C 1010)＝210，

∴奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29.

[答案] D

4．(2015·全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( )

A ．10

B ．20

C ．30

D ．60

[解析] (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5的展开式中只有C 25(x 2＋x )3y 2中含x 5y 2，易

知x5y2的系数为C25C13＝30，故选C.

[答案] C

5．(2017·天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答) [解析]分两类：

①有一个数字是偶数的四位数有C14C35A44＝960个．

②没有偶数的四位数有A45＝120个．

故这样的四位数一共有960＋120＝1080个．

1080

[答案]

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．

[对点训练]

1．已知I＝{1,2,3}，A，B是集合I的两个非空子集，且A中所有元素的和大于B中所有元素的和，则集合A，B共有()

A．12对B．15对

C．18对D．20对

[解析]依题意，当A，B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A 有两个元素时，有C23＋C23＋2＝8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3

对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A，B均有两个元素时，有3对．所以共有3＋8＋3＋3＋3＝20对，选D.

[答案] D

2．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()

A．12种B．18种

C．24种D．36种

[解析]第一步：将4项工作分成3组，共有C2

种分法．

4

第二步：将3组工作分配给3名志愿者，共有A33种分配方法，故共有C24·A33＝36种安排方式，故选D.

[答案] D

3．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为()

A．240 B．204

C．729 D．920

[解析]分8类，当中间数为2时，有1×2＝2个；当中间数为3时，有2×3＝6个；当中间数为4时，有3×4＝12个；当中间数为5时，有4×5＝20个；当中间数为6时，有5×6＝30个；当中间数为7时，有6×7＝42个；当中间数为8时，有7×8＝56个；当中间数为9时，有8×9＝72个．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个凸数．

[答案] A

两个计数原理的应用技巧

(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．

(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．

考点二排列与组合

1．(2017·山西四校联考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是() A．72 B．120

C．144 D．168

[解析]依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A3

A34＝

3 144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A22A22A33

＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.

[答案] B

[探究追问](1)若第1题中改为“同类节目必须相邻”，则有多少种不同的排法？

(2)若第1题中改为“相声类节目不排第一个，小品类节目不排最后一个，则有多少种不同的排法？”

[解析](1)(捆绑法)将歌舞类节目，2个小品类节目分别各自作一个节目与相声类节目排列，共有A33种不同排法．又歌舞类节目有A33种排法，小品类节目有A22种排法，所以共有A33×A33×A22＝72(种)不同排法．

(2)分两类：第一类，若第一个节目排歌舞类，由于最后一个不排小品类节目，有A13·A24A33＝216(种)排法；第二类，若第一个节目排小品类节目，则有A12·A14·A44＝192(种)排法．故共有216＋192＝408(种)不同的排法．

[答案](1)72种(2)408种

2．(2017·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)

[解析]从8人中选出4人，且至少有1名女学生的选法种数为C4

－C46＝55.

8从4人中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人的选法为A24＝12种．故总共有55×12＝660种选法．

[答案]660

3．(2017·北京西城一模)某种产品的加工需要A，B，C，D，E五道工艺，其中A必须在D的前面完成(不一定相邻)，其他工艺的顺序可以改变，但不能同时

进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有________种．(用数字作答)

[解析] B 与C 必须相邻，看作一个元素，与剩下三个元素全排列共有A 44种

排法，而B 与C 的顺序有A 22种排法，又A 必须在D 的前面完成，所以完成加工

该产品的不同工艺的排列顺序有A 44·A 22A 22

＝24(种)． [答案]

24

解排列组合综合应用题的解题流程

考点三 二项式定理

1．通项与二项式系数

T k ＋1＝C k n a n －k b k (k ＝0,1,2，…，n )，其中C k n 叫做二项式系数．

2．二项式系数的性质

(1)C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －r n ；…… 此处隐藏：3714字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……