概率论与数理统计试卷及答案 (4)

概率论与数理统计习题集

一．（本题满分56分，共有8道小题，每道小题7分）．

1．根据以往的考试结果分析，努力学习的学生中有90%的可能考试及格，不努力学习的学生中有90%的可能考试不及格．据调查，学生中有90%的人是努力学习的，试问：

⑴ 考试及格的学生中有多大可能是不努力学习的人？ ⑵ 考试不及格的学生中有多大可能是努力学习的人？ 解：

设A 被调查的学生是努力学习的， B 被调查的学生考试及． 格

由题设，有 P A 0.9，P 0.1；PBA 0.9，P 0.9． 要求的概率为PB和PA．由Bayes公式，有 ⑴ PB

P P B P A PBA PPB

0.1 1 0.9 0.012195．

0.9 0.9 0.1 1 0.9 ⑵ PA

P A PA

P A PA PP

0.9 1 0.9 0.5． 0.9 1 0.9 0.1 0.9

表示其最小号码，⑴ 求X

2．房间内有10个人，分别佩带1号到10号纪念章，任意选出5个人记录其纪念章的号码，令X的分布律．⑵ 求P X 4 ． 解：

⑴ X的取值为1,

2,3,4,5,6，并且

44

C9C84C71267035

P X 1 5 ，P X 2 5 ，P X 3 5 ，

C10252C10252C10252444C6C5C41551

P X 4 5 ，P X 5 5 ，P X 6 5 ．

C10252C10252C10252

X的分布律为

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⑵ P X 4 P X 5 P X 6

5161 0.023809523． 25225225242

三．（本题满分8分）

3．有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各5杯．如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是成功一次． ⑴. 某人随机地去猜，问他成功一次的概率是多少？ ⑵.

某人声称他通过品尝能区分两种酒．他连续试验10次，成功4次．试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）． 解：

⑴. 设A 试验成功一次，则有

C5451 P A 4

21042C10

⑵. 设X：试验10次成功的次数，则X~B 10,

4

6

1 70

4 1 41 5

由于P X 4 C10 5.8402 10

42 42

因此随机事件B X 4 是一个小概率事件，根据“小概率事件在一次试验中是不大可能发生的”的原理，随机事件B X 4 是不大可能发生的，但它却发生了，因此我们可以断定此人确有区分酒的能力． 4．设二维随机变量 X,Y 的联合密度函数为

f x,

⑴ 试求常数c；⑵ 求条件密度函数fY 解：

cx2y0 y x 1

， y

其它 0

X

yx ． f x,

2

⑴ 由联合密度函数的性质，有

1

x

y dxdy 1，因此

1

1

f x,

cc

y dxdy dx cxydy x4dx ，

201000

所以，c 10．

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⑵ 当0 x 1时， fX x

f x,y dy 10x2ydy 5x4

x

5x4

所以随机变量X的边缘密度函数为fX x

0

2y

f x,y 2

x所以当0 x 1时，fYX yx

fXx 0

0 x 1

．

其它

0 y x其它

5．设二维正态随机变量 X,Y 的边缘分布X~N 1,

4 ，Y~N 0,1 ，且相关系数 X,

Y

0．求概率

P X Y 1 ．

解：

由于 X,Y 服从二元正态分布，且X与Y的相关系数 X,

Y

0，得X与Y相互独立．所以

Z X Y也服从正态分布．

E Z E X Y E X E Y 1 0 1， D Z D X Y D X D Y 4 1 5， 所以，Z X Y~N 1,5 ． P X Y 1 P

1 X Y 1

0 0 ．

2

6．一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5．某天该食品店出售了300只蛋糕．试用中心极限定理计算，这天的收入至少为395元的概率．

（附表：标准正态分布分布函数 x 的数值表：

解：

设Xk表示该食品店出售的第k只蛋糕的价格 k 1,2, ,300 ，则Xk的分布律为

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所以，E Xk 1 0.3 1.2 0.2 1.5 0.5 1.29，

2

EXk， 12 0.3 1.22 0.2 1.52 0.5 1.713

2所以，D Xk EXk E Xk 1.713 1.292 0.0489．

2

因此，X1,X2, ,X300是独立同分布的随机变量，故

300300 300

X E X 395 E Xk kk300

k 1k 1

P Xk 39 5 1 P k 1 300300

k 1 DXDX kk

k 1k 1

300

Xk 300 1.29

395 300 1.29 1 P k 1

300 0.0489300 0.0489

300 Xk 300 1.29

1 P k 1 2.09 1 2.09 1 0.981 70.018．3

300 0.0489

7．设总体X~N

, 2 ． X1,X2, ,X10 是取自该总体中的一个样本，是其样本均值，试求：⑴

X1,X2, ,X10 的联合密度函数f* x1,x2, ,x10 ；⑵ 的概率密度函数g x ．

解：

由于总体X~N

, 2 ，所以X的密度函数为

1

2 2

f x 2

⑴ X1, f

*

12

exp x x ． 2

2

X2, ,X10 的联合密度函数为

x1,

x2, ,xn f x1 f x1 f x10 2

10

2 2

1102 exp 2 xi

2 i 1

xi ,

i 1,2, ,10

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2

⑵ 由于~N ,10 ，所以的密度函数为

g x 2

10

2

1

2

1 2

x x ． exp 2

2 10

8．设总体X服从区间 , 1 上的均匀分布， X1,X2, ,Xn 是取自该总体中的一个样本，求未知参数

的矩估计量为 ． 解：

总体X的密度函数为f x

1 x 1

0其它

，则

1

1

E X xf x dx 12

1

2 1 2 2

12 2 1 1 xdx

2x

2

． 所以， E X

12．将E X 用样本均值来替换，得 的矩估计量为

12

．二．（本题满分30分，共有3道小题，每道小题10分），

9．设随机变量X~N 0,1 ，Y X．试求随机变量Y的密度函数fY y ． 解：

随机变量X的密度函数为

fX x

1

x22

e

x ．

设随机变量Y X的分布函数为FY y ，则 FY y P Y y PX y

．

⑴ 当y 0时，FY y P Y y PX y

0． ⑵ 当y 0时，

FY y P Y y PX y

P y X y

y

2

y

2

fX x y

dx

12

dx

22

y

2

e

xy

2

e

xdx

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2y x

2 edxy 0． 所以，FY y 2 0

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