高等数学课件--第十二章 微分方程12-7 高阶线性微分方程

高等数学课件--第十二章 微分方程

第七节

高阶线性微分方程

一、二阶线性微分方程举例二、线性微分方程解的结构 三、常数变易法 四、小结 习题

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一、二阶线性微分方程举例1 方程举例例 1 设 有 一 弹 簧 下 挂 一 重 物 ,如 果 使 物 体 具 有 一 个 初 始 速 度 v 0 0 ,物 体 便 离 开 平 衡 位 置 ,并 在 平 衡 位 置 附 近 作 上 下 振 动 .试 确 定 物 体 的 振 动 规 律 x x (t ) .

解 受力分析1 恢复力 f cx ;o

2 阻力 R

dx dt

;x

x

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F ma ,d x dt2 2

m2

d x dt2

2

cx

dx dt

,

2n

dx dt

k x 0 物体自由振动的微分方程

若受到铅直干扰力

F H sin pt ,

d x dt2

2

2n

dx dt

k x h sin pt2

强迫振动的方程

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例2 设有一个由电阻 R 、自感 L 、电容 C 和电源 E 串联组成的电路 , 其中 R 、 L 及 C 为常数 ,电源电动势是时间 t 的函数 : E E m sin t , 这里 E m 及 也是常数 .

解 设电路中的电流为 i ( t ), 电容器极板上的电荷量为 q ( t ), 两极板R

iE

L 间的电压为 u c ,自感电动势为 E L . C dq q di i , uc , E L L , q dt C dt di q 由回路电压定律 , E L Ri 0 , dq C 2 d uc duc Em 2 即 Lc 2 0 uc sin t . 2 dt LC dt

~

q

K

串联电路的振荡方程

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2 二阶线性微分方程的定义d y dx2 2

P( x)

dy dx

Q( x ) y f ( x )

二阶线性微分方程

当 f ( x ) 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f ( x ) 0时， 二阶线性非齐次微分方程

n阶线性微分方程y( n)

P1 ( x ) y

( n 1 )

Pn 1 ( x ) y Pn ( x ) y f ( x ).

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二、线性微分方程的解的结构1 二阶齐次线性方程解的结构y P ( x ) y Q( x ) y 0 (1)定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x )是方程(1)的两个解,那末y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解.(C1 , C 2 是常数)

证 [ C 1 y 1 C 2 y 2 ] P ( x )[ C 1 y 1 C 2 y 2 ] Q ( x )[ C 1 y 1 C 1 y 1 ] C 1 [ y 1 P ( x ) y 1 Q ( x ) y 1 ] C 2 [ y 2 P ( x ) y 2 Q ( x ) y 2 ].

问题 y C1 y1 C 2 y2一定是通解吗？

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定义

n I 设 y 1 , y 2 , , y n 为 定 义 在 区 间 内 的 个 函 数 .如

果 存 在 n 个 不 全 为 零 的 常 数 ，使 得 当 x 在 该 区 间 内 有 恒 等 式成立

k 1 y1 k 2 y 2 k n y n 0 ,I 那 么 称 这n 个 函 数 在 区 间 内 线 性 相 关 .否 则 称 线 性 无 关

例如 当 x ( , )时， e x, x , e 2 x 线性无关 e1,cos x , sin x 线性相关2 2

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特别地 若 在 I 上 有

y1 ( x ) y2 ( x )

常数， 函 数 y 1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 则

在 I 上线性无关. 定理 2 如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2

y2 就是方程(1)的通解.

例如 y y 0 ,且 y2 y1

y 1 cos x , y 2 sin x ,

tan x 常数, y C1 cos x C 2 sin x .如果 y 1 ( x ), y 2 ( x ), , y n ( x )是 n 阶齐次线性方程 y(n)

推论

a1 ( x ) y

( n 1)

a n 1 ( x ) y a n ( x ) y 0

的 n 个线性无关的解

, 那么 , 此方程的通解为

y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x ) C n y n ( x ), 其中 C 1 , C 2 , , C n 为任意常数 .

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2 二阶非齐次线性方程的解的结构定理 3 设 y 是二阶非齐次线性方程( 2)*

y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x )

的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那 么 y Y y 是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.*

证 (Y y ) P ( x )( Y y ) Q ( x )( Y y * )* *

[Y P ( x )Y Q ( x )Y ] [ y

*

P( x) y

*

Q ( x ) y ].*

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定理 4

设非齐次方程(2)的右端 f ( x ) 是几个函数*

y 之和,如 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) 而 1与 y 2 分别是方程,*

y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) y P ( x ) y Q ( x ) y f 2 ( x )的特解, 那么 y1 y 2 就是原方程的特解. 解的叠加原理* *

证

( y1

*

y 2 ) P ( x )( y 1 y 2 ) Q ( x )( y 1 y 2 )* * * * *

[ y1 [ y2

*

P ( x ) y1

*

Q ( x ) y1 ] Q ( x ) y 2 ] f 1 ( x ) f 2 ( x ).*

*

*

P ( x ) y2

*

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三、常数变易法1 齐次线性方程求线性无关特解---降阶法设 y 1 是方程 (1 )的一个非零特解，

令 y2 u( x ) y1 代入(1)式, 得 y 1 u [ 2 y 1 P ( x ) y 1 ]u [ y 1 P ( x ) y 1 Q ( x ) y 1 ]u 0 , 即 y 1 u [ 2 y 1 P ( x ) y 1 ]u 0 ,

令v u ,

则有

y 1 v ( 2 y 1 P ( x ) y 1 )v 0 ,

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y 1 v [ 2 y 1 P ( x ) y 1 ]v 0

v 的一阶方程降阶法

解得 v

1 y12

P ( x ) dx , e

u

1

y1

P ( x ) dx dx e 2

y 2 y1

1

y1

P ( x ) dx dx , e 2

齐次方程通解为y C 1 y1 C 2 y1 1 y1 e 2 P ( x ) dx

刘维尔公式dx .

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2 非齐次线性方程通解求法---常数变易法设对应齐次方程通解为 y C 1 y1 C 2 y 2 设非齐次方程通解为 (3)

y c1 ( x ) y1 c 2 ( x ) y 2

y c1 ( x ) y1 c ( x ) y 2 c1 ( x ) y1 c 2 ( x ) y 2 2

设

c1 ( x ) y1 c ( x ) y 2 0 2

(4)

y c1 ( x ) y 1 c ( x ) y c 1 ( x ) y 1 c 2 ( x ) y 2 2 2

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将 y , y , y 代入方程 ( 2 ), 得 c 1 ( x ) y 1 c ( x ) y c 1 ( x )[ y 1 P ( x ) y 1 Q ( x ) y 1 ] 2 2 c 2 ( x )[ y P (

x ) y Q ( x ) y 2 ] f ( x ) 2 2 c1 ( x ) y1 c ( x ) y f ( x ) 2 2

(5)

c1 ( x ) y1 c …… 此处隐藏：2287字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……