从一道习题的变式教学谈研究性学习

从一道习题的变式教学谈研究性学习 摘 要：学生是教育的重要资源。研究性学习是自主性的，开放性的。研究性学习的结果具有过程性。研究性学习的内容具有综合性、应用性。教师要注重教学设计的整体性，通过研究性学习更好地激发学生的潜能，加强学生的科学观念教育，提高学生数学思维的探索水平，培养学生的创新精神。

关键词：研究性学习，资源，整体性，创新，建构

“新的教育理想，首先是培养具有创新精神和创新能力，以及与知识经济相适应的现代人格的一代”。突显学生主体地位的研究性学习因其注重科学观念教育，成为了有效培养学生创新能力的新型学习方式。教师要创造条件，让学生完全独立地在问题的提出、思考、探究、解决中进行创新，并通过加强所学知识的有意义的联系与整合，实现学生对知识的主动建构，和对数学思想、方法的充分感悟，全面提升数学素养。 现从一道习题的变式教学谈谈我对研究性学习的实践体会。 由华东师大版数学八年级下册P79页习题19.2第4

已知AB=AC，BD=CE，求证：△ABD≌△ACE

有学生联想到：已知在△ABC的边BC上有两点D、E，且∠BAD=

∠CAE， BD=CE，则AB=AC是否成立？ 通过研究，我发现这是一个很好的研究性学习的素材。因

此，在初三总复习时，我引导学生就此进行了充分地探究。 一开始学生觉得条件不够，不一定成立。但寻找反例的过

程又让学生直觉到此命题应该成立。并有一个学生以晚会的射

灯为例进行了形象地诰明：射灯在左右两边转动过程中光线所

形成的夹角不变，要使射灯在地面投下的光影的长度相等，那么射灯左右偏转必须要对称，即△ABD与△ACE一定全等。

接下来学生对猜想尝试证明。

无从下手。我引导学生由所求结论产生联想，生用反证法得出

方法1：不论是下图中哪种情况，同样可假设AB=AC不成立，不妨设AB＞AC，则可在AB上取AC＇=AC，并作∠AC＇E＇=∠ACE，使得△AC＇E＇≌△ACE，C＇E＇=CE。

再过C＇

作C＇F∥BD交AD于F，可得∠ADE =∠C＇FD，又因为∠A E＇C＇=∠AEC、∠AEC＞∠ADE，故∠A E＇C＇>∠C＇FD，从而可得C＇F＞C＇E＇。而根据△AC＇F∽△ABD，AB>AC＇可得BD＞C＇F。因此BD＞C＇E＇。这与已知BD= EC = C＇E＇矛盾。因此应有AB=AC。 通过以上证明，学生初步感受到这两个条件同时成立时所应具有的对称性，联想到在△ABC的外接圆中，等圆周角对等弧等弦。得

方法2：作△ABC的外接圆，并延长AD，AE与圆分别交于点G，H。

∵∠BAG=∠CAH ∴ BG=CH， 弧BG=弧CH， ∴易得∠DBG=∠ECH，又BG=CH，BD=CE ∴△BDG≌△CEH， ∴∠AGB=∠AHC ∴AB=AC 因线段BD和CE共线且相等，我联想到可通过平移把它们集中

到一起,由∠BAD=∠CAE，得出四点共圆,使问题方便地得到解决. 因此引导学生得到 方法3：将△AEC沿CB方向平移,使得点C与点D重合，则CE与DB重合，如图，

B D E C

点A平移到点F。由平移的性质可得出AF∥BD。又由已知∠BFD=∠DAB可得出点A、D、

B、F必四点共圆。因而可得FB=AD，进而由等腰梯形可得FD=AB，即AC=AB。

虽然四点共圆属补充知识，学生不太熟悉，但我继续为学生点火：利用平移是否还有方法解决问题？果然，学生又探究出：结合三角形相似和面积法可得

方法４： 将△AEC沿CB方向平移到△FBD的位置，使得线段EC和BD重合。AB交DF于点O，则有∠BFD=∠DAB，AF∥BD。由△ABD与

△FDB同底等高得出面积相等，因而△FOB与△AOD面积相F

等。而△FOB与△AOD因为有对顶角相等与已知∠BFD=∠EAC =∠DAB可得相似，而面积比等于1，可得相似比为1，

即全等。所以有AB=AC。 B D C E 此时学生越来越有了信心，探究的热情也越来越高，大胆

提出了猜想：既然可用对称、平移把两个三角形集中起来,那么用旋转是否同样可行呢?最后由面积法又得出

证法５：把△ADB绕点A旋转到如图中△AD＇B＇。连结ED＇，B＇C，

∵BD=CE ∴△ABD面积=△AEC面积

∴AB AD sin∠BAD= AC AE sin∠CAE，

又∵∠BAD=∠CAE，∴AB AD=AC AE， AE AD,

AE

∴ABAC 即AB' AD'

AC

∴E D＇∥B＇C， 又∵B＇D＇=BD=EC， ∴梯形ED＇CB＇是等腰梯形。易得AC=AB＇=AB。

由以上经验，学生又进一步探究出△ABE与△CAD也等底同

高、面积相等。因而又得到

证法６：∵BD=CE ∴BE=CD ∴△ABE的面积=△ACD的面积

∴AB AE sin∠BAE =AC AD sin∠CAD 又∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAE=∠CAD

AB AD

AE， ∴AB AE=AC AD ∴AC又∵∠BAD=∠CAE， ∴△ABD∽△ACE

ABBDC

而由BD=CE，可得AC=EC =1 ∴AB=AC。

综合应用以上两种方法中的两对三角形面积相等。学生又得到

方法７： ∵BD=CE ∴△ABD面积=△AEC面积

△ABE面积=△ACD面积

∴AB AD sin∠BAD=AC AE sin∠CAE， 且

AB AE sin∠BAE=AC AD sin∠CAD

又∵∠BAD=∠CAE，则∠BAE=∠CAD

∴AB AD=AC AE，AB AE=AC AD C

AB

两式变形得∴AC

AB AC AEABAD ，AC ADAE， ∴ACAB，即AB2 AC ∴AB=AC。 2

本题中每一种大胆的猜想最终都成功地解决了问题。而“思维教育是从研究解题如何快些、好些开始”。因此我又引导学生对以上解法进行了回顾与审视，理出头绪、找出规律、建立起属于自已的知识结构和图式。

通过以上探究,几个优生意犹末尽,进一步拓展得：

1.当把原题中△ABC改成梯形A＇ABC中A A＇∥BC，点D、' E在底BC上时，结论仍然可以由上面的方法3或4得到证明。

2.当把原题中的△ABC改成梯形A＇ABC中AA＇∥BC，且

D

点 D、E在其中一腰A＇C的两边延长线上时，同样地当∠DBC=

∠A＇AE， DC=A＇E时，则仍可如下证出DB=AE。 证明：把△BDC沿DE方向平移到△B＇A＇E， 因∠DBC=∠A＇B＇E=∠AA＇E，可作过四点AA＇EB＇的圆，

因AA＇∥BC，B＇E∥BC，可得AA＇∥B＇E 则可得圆中四边形A＇AB＇E必是等腰梯形。 所以可得AE=A＇B＇=DB。

学生这一研究性学习的成功探究，带给了我深深的感动和感悟：

１．研究性学习是自主性的，开放性的。学生是教育的重要资源。

人有思维、探究的本能，但人只有处在开放的世界，才能显露自我，才能调动其所有的敏感、禀赋。当学生在学习中体验到完善的自由时，他选择的道路在内部和外部的刺激的关系中是最经济的矢量。因为正是这样合意的行为才使人处在意识与机体活动一致的生态环境之中。因此我们的教育越是尊重学生的独立性、自主性，越是自然，像种子长成大树那样的内部能量的发挥就越是彻底，越是强大。学生是教育的资源之库，能量之库，教要经过学才能最终起作用。因此教师要走下神坛，以开放的态度，倾听了解学生，并善于向学生学习，才能真正做到教学相长。笔者正是因为对学生探究欲的激发和对学生问题的深入挖掘，才给学生创设了这么精彩的学习机会，也正是因为教师敢于放手，给予了学生充分的自主探究的时间和空间，才促使了学生对这一问题深入、圆满的研究。并促进教师打破了思维定势，在与学生的平等对话中，开阔了思路。从而真正使数学教学走向数学教育。

２．研究性学习的结果具有过程性。教师要还课堂给学生。

学生在自主探究、合作交流中感悟到的知识，拥有了个性，拥有了自已所赋予的生命。他们所探究到的结果可 …… 此处隐藏：3355字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……