2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：变化率与导数、导数

第十一节 变化率与导数、导数的计算

[备考方向要明了]

[归纳·知识整合]

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数： 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

Δx0

lim →

f x0＋Δx －f x0 Δy

＝lim y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，

ΔxΔx→0Δx

即

f′(x0)＝lim →

Δx0

f x0＋Δx －f x0 Δy

lim . ΔxΔx→0Δx

(2)导数的几何意义：

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为(3)函数f(x)的导函数：

称函数f′(x)＝lim →

Δx0

f x＋Δx －f x

为f(x)的导函数．

Δx

[探究] 1.f′(x)与f′(x0)有何区别与联系？

提示：f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值． 2．曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线与过点P0 x0，y0)的切线，两种说法有区别吗？ 提示：(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．

(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

3．过圆上一点P的切线与圆只有公共点P，过函数y＝f(x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗？

提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点． 2．几种常见函数的导数

3．导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝； (2)[f(x)·g(x)]′＝； f′ x g x －f x g′ x f x (3)′＝(g(x)≠0)． g x [g x ]4．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

[自测·牛刀小试]

1

1．(教材习题改编)f′(x)是函数f(x)＝3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为( )

3

A．0 C．4

B．3 7D．－

3

1

解析：选B ∵f(x)x3＋2x＋1，∴f′(x)＝x2＋2.

3∴f′(－1)＝3.

2．曲线y＝2x－x3在x＝－1处的切线方程为( ) A．x＋y＋2＝0 C．x－y＋2＝0

B．x＋y－2＝0 D．x－y－2＝0

解析：选A ∵f(x)＝2x－x3，∴f′(x)＝2－3x2. ∴f′(－1)＝2－3＝－1. 又f(－1)＝－2＋1＝－1，

∴切线方程为y＋1＝－(x＋1)，即x＋y＋2＝0. 3．y＝x2cos x的导数是( ) A．y′＝2xcos x＋x2sin x B．y′＝2xcos x－x2sin x C．y＝2xcos x D．y′＝－x2sin x

解析：选B y′＝2xcos x－x2sin x.

sin x

4．(教材习题改编)曲线y＝M(π，0)处的切线方程是________．

xx·cos x－sin xsin x

解析：∵f(x)＝f′(x)＝

xx－π1

∴f′(π)＝＝－ππ

1

∴切线方程为y＝－x－π)，即x＋πy－π＝0.

π答案：x＋πy－π＝0

5．(教材习题改编)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝

________.

解析：由题意知f′(5)＝－1， f(5)＝－5＋8＝3，

∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2. 答案：

2

[例1] 求下列函数的导数 (1)y＝(1－x) 1＋

1；

ln x(2)y＝

x(3)y＝tan x； (4)y＝3xex－2x＋e.

11

[自主解答] (1)∵y＝(1－x) 1＋ ＝－x＝x2－x2，

1

2

1

1

∴y′＝(x

1 21 2

)′－(x)′x－.

22

1

2

31

ln x ln x ′x－x′ln x

(2)y′＝ ′＝ x x1

·x－ln xx1－ln x＝xxsin x (3)y′＝ cos x ′ ＝＝

sin x ′cos x－sin x cos x ′

cosxcos xcos x－sin x －sin x 1

cosxcosx

′

(4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3x(ln 3)·ex＋3

xex－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.

xx

1－2cos2”如何求解？ 若将本例(3)中“tan x”改为“sin 42 xxxx1

1－2cos2 ＝－sin sin x 解：∵y＝sin 4 22221

∴y′＝－cos x．

2

—————

——————————————

求函数的导数的方法

(1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；

(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量．

1．求下列函数的导数

x＋x5＋sin x

(1)y＝；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；

x11cos 2x

(3)y＝；(4)y＝.

sin x＋cos x1x1x1

3xx5＋sin x 2sin x

解：(1)∵y＝x2＋x3＋ xx∴y′＝(x

5

3

2

)′＋(x3)′＋(x2sin x)′

－

3 2－－

＋3x2－2x3sin x＋x2cos x.

2(2)y＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11.

112

(3)∵y＝＋，

1x1＋x1－x2－2 1－x ′2

∴y′＝ 1－x ′＝＝. 1－x 1－x cos 2x

(4)y＝cos x－sin x，

sin x＋cos x∴y′＝－sin x－cos x.

[例2] 求下列复合函数的导数： (1)y＝(2x－3)5；(2)y3－x； π

2x＋；(4)y＝ln(2x＋5)． (3)y＝sin2 3

[自主解答] (1)设u＝2x－3，则y＝(2x－3)5由y＝u5 与u＝2x－3复合而成，

∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′ ＝5u4·2＝10u4＝10(2x－3)4.

(2)设u＝3－x，则y3－x由y＝u与u＝3－x复合而成． ∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u)′(3－x)′ 111 2＝u－－1)＝－u 2223－x1＝.

23－x2x－6

π

(3)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋

3则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cos v·2 π 2x＋π 2x ·＝4sin cos3 3 2π

4x＋. ＝2sin 3

(4)设y＝ln u，u＝2x＋5，则y′x＝y′u·u′x， 12

∴y′＝·(2x＋5)′＝2x＋52x＋5—————

——————————————

复合函数求导应注意三点

一要分清中间变量与复合关系；二是复合函数求导法则，

像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的任一环；三是必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其复合关系．

2．求下列复合函数的导数： (1)y＝(1＋sin x)2；(2)y＝ln 1

(3)y＝(4)y＝x

1－3x x＋1；

1

12

12

1＋x.

解：(1)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′ ＝2(1＋sin x)·cos x. (2)y′＝(ln ＝

1

( x＋1

x＋1)′ x＋1)′

1

112

＝x＋1)2·(x2＋1)′

x＋12

＝

x. x＋1

(3)设u＝1－3x，y＝u. 则yx′＝yu′·ux′＝－4u5·(－3)

－

－4

＝

12

1－3x 1＋x)′

1＋x)′

2

(4)y′＝(x

＝x′1＋x＋x(

1＋2xx2

＝1＋ …… 此处隐藏：8785字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……