数值分析(08)解线性方程组的迭代法

数值析

第分五节大型 稀疏方程的迭代组法迭代法适于求用大型稀疏解的线方程组性其，基本思是想过构造通迭格代产式生代迭列，由迭代序序列逼来近原方程的组，解因，此要解的基本决题问 ：是1 如何.构迭造代格式 2.代迭列是否收敛

一序、 基 本代法及其迭收敛性 二 、种几本迭基法代三 、用应例数实分值

数值分析

析 、基本一代迭及其收法敛性设有性线代数程组方 a11 x 1 a12x2 a1n nx 1 b21a x1 a 2 x2 2 2an x n b 2 a1nx 1 a 2nx2 na xnn bn 用矩表阵示：

xA b=A 为数系矩阵非奇，且异ai设≠i;b0右端为，x解向为量A=+MN,要求M 逆的好。求A x=b(M+ N)=bx x=-Mx+N xb-=-1MxN+M-1bx bA x Bx g, B 1 MN, g M b数1分值析

数分析值Ax b x B xg ,基本 代迭法的迭格式 x代 (k ) 1 x B (k ) gB M 1 ,N g M 1

(b k0,1, , )2其B中 n R 称n迭代矩阵，g是为已知n的向维量

给定，x () ,由迭代0格x (式 1)k Bx ( k ) g , k( ,1,02 ,) 可产生即迭代序列{ x (k )} 当 。li xm( k) x k 时，

对x (k 1 Bx ( k ) ) g取 极 限 得x xB g A x b

:注何分如裂是一个A键问关题。数分值析

值分析

数8 例 对：性线方程A组x b其，A= 中 4 6 8解： A将分为裂 A M N ,中M =其 0 0

-3 1 3 01 110

2 20 1- ,b 33 3 16 2 0 0 3- 2 0 N = , 04- 1 6 3 0 12

xA b x M - 1xN M -b 1M -1 ( b N )x 1 8 0 0 0 2 0 3 x 22 x 1 3 0 3 34 x1 x 3 1 1 1 3 66 x1 3x2 012 0

1 x (2 0 x3 22 x 3 ) 8/ x2 33 (4 x1 x3 /)1 1x 36 6( x 3 ) /x 1 1 22 3数值分析

数值析分迭代格式的量形分为式 (( x( k+1) (2 0 3x 2 ) k x32 k)) 8 1 / (k+1 ( ) (2 x( 33 4x 1 ) k x k3 ) ) /11 x k(+)1 ( 36 6 x( k) 3 x( k) )/ 12 2 1 3 k 0 1, 2,.,...迭代到1第次0得到,x 10) ( ( 3.000302,199.8389 0,.9998138)T已知精确解 x为 (3 ,,21T)迭代式格矩阵形的 式 ( x k 1) Bx ( ) k ,gk 0 ,,12, .... 3 0 0 2 2- 8 8 8 1 ,g 3 3迭矩代B=阵 - 4 10 1 1 1 1 1 -6 63 3 -0 1 2 21 12 数值析分

数

值析分义定 基本迭代法x( k 1 B) ( kx) g , ( k ,1, 2, 0 )生的迭产代序{列 x ( k)} 如果，任取对始向量x 初(0都有 )( k )il m x x

,则此称代迭法收是的，否则敛发是散的k 。

Rn在，中点列收敛等的于每个价量分的敛收即。( (( 对x (k) (x1k ,) x2 )k, x,nk) T , ) x (1 x x, 2, ,xn )T n ,R则 il xm (k ) x l m ixi(k ) xi ,( i1 ,2 , n) k , k 同理，A(k ) 的敛收与所择的选数范无关 ( 若A。( k) (a jki) ) , A (aji , ) (则l miA( k ) A lmiaij k ) iaj, ( i j ,1 2, ,, )

n

lim B k 0 k k

k

值数析分

数值分

析收敛分性析x精确解是 代迭格为 误差向式 A量x b x B x g x( k B) (x k) 1 g

(k) x x

(k )

B( x x

( k 1)) B

( k )1

kB (0)0()( k1 2, ),

其 中 0) (x x(0 是初始)误向量，是一个确差定值的.由此得，到论:结对意任初x 值 ，迭序列 x

代 (k ) k=0

敛 收 B 0

k(k 数)分析值

数值析分矩阵的约当( ordJna标)形 准 A Cn n , 定存一在n阶逆可矩阵P,P使 1A P J Jrdon形矩阵Ja对的线元角是素A的部特征值。全例: J oradn矩形 阵1 1 1 J 2 2 1 2

J1 J2 J 1 的代1数重数2为，何重几数为1 ; 1 2代的数数为3,几重何数为重；数值分析

2

数分值

析1 1 1 (1)J 2 2 2

11的代 数重为数2几何重数，为1; 1 2 的数代数重3, 几为何数重为；3 1 1 代数的重为数， 21 1几 重数为2何 ;2)( J 12 1 2的代重数数为， 32 1 何几数重1为； 2 数值析分

数值分

析解

1 1 0 求可 逆矩P , 使P 阵 1A P J 例 :设 A 4 3 0 10 2 为J rdaon标准. 形

的A特多项式为征 1 13 0 0 0 2 2 ( )( 1 ) ,

2 A E

4 1 所A以的征特为 1 值 ,2 2 3 1 当. 1 2时, 解 程方 A( E )2 x 0.由 3 1 0 A 2 E 410 0 1 0 1 0 0 ~ 0 1 0 , 0 0 0 属于 征特 值 0 的2个一 特1p 0 , 1征向量取 为 值数分析

数分析

当 值2 3 1时 ,解 程方 (A E )x 0 由. 2 1 0 10 1 A E 4 2 0 ~ 01 2 , 10 1 0 00 r ( A E ) 2, 特征 值 的 几 重何 是 数 2 1 1 ,3因 此, 特 值 的征 几何 重数 小于 代 数2数,1 重 2 1 1P由AP J 得,A P J

P, J 1 1 2 1 1 即 A p1 , p , 23p p ,1 2p, p 3 2 1 2 p , p , p p . 1 12 22 32故A 可不相 似 角对化 . 1 2 数值析分

值数析分

是于有Api i ip i ,1 2. A( E2 ) 3 p p 2 1 方 程 解 AE ) x 0 得 p2 2 ( 1 1 方解 程A E ) xp2 得 p 3 1 ( 0 0 1 1 0 2 1 1 P 1 p p, ,2p3 P AP J 11 0 数值分析

值数分析

定理3-7迭代(收敛的法充条件要)迭代格式 x (k 1 ) x B k () g , k( 01,, 2,) 任意对始初 向量x (0都)收敛充分必要的件条是 ( )B 1. 证 明: ( 由k) B k ()0迭代法知敛 B收k (k0 ). 以下证B明 k 0 k( )的充分必要件是 条 (B )1

由.阵的Jo矩rand标型知存准非在奇阵异 P 使1J J2 P 1 B P J Jr 数值分析数值

析

J i分若当为块,且 i Ji r

1i

1i ( i 1 ,2 ,, r ) 1 i( n n) i

nii ,n 于是B P JP 1 i

1 JP 1 B PJ k P 1 BP P 1 P BP 1PB P 1B Pk数值分析

数值

分

J析1k P 1 B k P kJ

k J

2 (, k , 1,2) k Jr 故Bk PJ k P 1

显然 当k , , 时 k B 0 J k J0 k 0 J ki ( i0 , 1, 2 r,) ( B ) ( J) ma (x 1, 2 , , r)此, 为只证明需 Jk i 0 i ,1 ( i 1, , ,2 )r数分值析

数值分

析 2 2 1 1 0 例 J: 0 1 ,J 2 0 2 2 , 0 00 0 2 k ( k 1) k 2 k k 1 k 2 k k k 1 J 0 k 00 k …… 此处隐藏：1697字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……