复旦金融用随机过程3.4-最常见的随机过程或随机模型

复旦金融用随机过程

最常见的随机过程或随机模型

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主要内容 Brown运动或Wiener过程 二项过程 Poission过程 白噪声过程

自回归过程 移动平均过程 混合自回归移动平均过程 利率期限结构或均值回复模型 ARCH类模型2

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二项过程 1979年Cox、Ross和Rubinstein利用二项过程 提出了二叉树期权定价模型，用以构造股票价格运 动过程，进行股票期权定价分析。 目前，二叉树模型已被广泛应用于金融资产定价 领域，并为直观理解金融资产价格的复杂随机行为 提供了最佳认识工具，为金融计算提供了可行的数 值方法。

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二项分布是指随机变量满足概率分布

P ( ξ = k ) = C n p (1 - q )

k

k

n- k

其中，k=1,2, …,0<p<1,q=p-1。 二项过程实质上是将二项分布作为一个过程来描 述金融资产价格变化的。

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假设股票价格在t时刻为S(t),当时间变化到 t+ t时，价格要么以概率p从S上涨到uS(u >1), 要么以概率q下降到dS(d<1);时间为t+2 t时有 三种可能：u2S、udS、d2S,以此类推，见树型 结构

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显然，在t + t 时刻，股票的期望价格为 E(St+ t)=puS+(1-p)dS, 在t +2 t 时刻，股票的期望价格为：,

E ( S t 2 t ) p u S 2 p (1 p ) udS (1 p ) d S2 2 2 2

2

c 2 p (1 p )i i

2 i

u d

i

2 i

S

i 0

在t + n t 时刻，股票的期望价格为：n

E ( S t n t ) =

åi= 0

C n p (1 - p )

i

i

n- i

u d

i

n- i

S6

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Poission过程引言： Brown运动是用以描述连续时间下金融资产价格 运动的，但金融资产价格并不都是随时间而连续变 化的，有时会出现跳跃，Poission过程就是经常 用以模拟跳跃的一类随机过程。

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计数过程： 如果用 t表示[0,t]内随机事件发生的总数，则随机 过程{ t }t≥0称为计数过程，且满足： (a) t 0; (b) t是整数值； (c) 对于任意两个时刻0 s<t,有 s< t; (d) 对于任意两个时刻0 s<t, t - s等于在区间 s , t 中发生的事件的个数。

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若在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立 的，则称计数过程有独立增量。 若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依 赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。显然， t为一个正整数， 0=0;对于任意的时刻 0 s<t, 有 s t, t = t s表示s到t时间段内 出现的事件数目。

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定义9 泊松过程 设随机过程{ t }t≥0是独立增量过程，如果满足 (a) 0=0; (b) { t }t≥0是独立增量过程( t= t s); (c) 对任一长度为t的区间中事件的个数服从均值 为 (t s)的Poission分布，即对一切s t0 ,有P ( t s k )

(t s ) ek k

(t s )

,

k 0 ,1, 2 , 0

k!

则称{ t }t≥0为参数为 (t s)的Poission过程。

直接计算可知，E t =V t = t,即，所以 表示单 位时间内事件出现的平均次数，因而 也常被称为 发生率或强度。10

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白噪声过程 随机过程{ t}t≥0称为白噪声过程，若E t=0,且 2 , j 0 E ( t t j ) 0, j 0

显然，白噪声过程一个平稳的纯粹随机过程，在金 融研究中主要用于模型无法解释的波动。

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自回归过程按时间次序排列的随机过程{ t}( t=1,2,…)称为时间序 列。 若时间序列是相互独立的，则说明事件后一刻的行为与前一 刻毫无关系，即系统无记忆性。 若情况相反，则前后时刻事件之间就有一定的依存性。其中 最简单的关系就是事件后一刻的行为只与前一刻的行为有关， 而与其前一刻以前的行为无直接联系，即ξt主要与 t -1相关。 从记忆的角度理解，是最短的记忆，即一期记忆，描述这种 关系的模型称为一阶自回归过程，记为AR(1),即

t=a t-1+ t,t=1,2, …,其中，a为常数， t为白噪声过程，称为扰动项。当|a|<1 时为平稳过程；a=1时称为随机游走过程；|a|>1为非平 稳过程。12

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更一般地，m阶自回归过程{ t }( t=1,2,…), 记为AR(m), 满足： t =a1 t -1+ a2 t -2+…+am t -m+ t t=1,2,… m阶自回归过程具有m期记忆或者说m阶动态性。 若滞后算子多项式1 a1z …-amzm=0的根在单位 圆之外时，为平稳过程。否则，就是非平稳的。

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移动平均过程 自回归过程表示在t时刻的事件 t 只与其以前的响 应 t -1, t -2,…, t -m 有关，而与以前时刻的扰 动无关。若时间序列{ t }与其以前的冲击或扰动 t -1, t -2,…, t -n有关，而与以前时刻的响应 无关，那就是n阶移动平均过程，记为MA(n),即 t = b0+ t +b1 t -1+ b2 t -2+…+ bn t –n t=1,2,… 当|bj|<1时，表示冲击在一段时间内会消失； |bj|=1表示冲击永远保持下去；|bj|>1表示冲 击将放大，其中i=1,2,…,n。14

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混合自回归—移动平均过程 若时间序列{ t }在t时刻，不仅与其以前的自身值 有关，而且与以前时刻的冲击或扰动存在着一定的 依存关系，则称为混合自回归—移动平均过程，其 一般形式(记作ARMA(m,n))为 t =a1 t -1+ a2 t -2+…+ am t -m+ t +b1 t -1+ b2 t -2+…+ bn t –n

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利率期限结构或均值回复模型在金融市场中，许多情况下的金融资产价格的变化，随着时 间的推移常常趋于某个长期平均水平，称为均值回复现象， 例如利率的变化就常常如此。具体的利率期限结构或均值回 复模型定义为

dS ( u S ) dt S

dt

其中λ>0,ε服从标准正态

分布。当股票价格S低于均值μ时， μ-S取正值，即S具有正的漂移率，dS将会变为正值。反之， 当股票价格S高于均值μ时，μ-S取负值，即S具有负的漂移 率，dS将会变为负值。尽管变化过程中价格可能会偏离均 值μ ,但长期来看S都会向均值μ靠近。过程中偏离的程度 由参数λ>0决定的。注意：资产价格表现出来的某种长期可 预测性，与市场有效性的假定是不符合的。16