周期信号的频谱分析——傅里叶级数

§3.2 周期信号傅里叶 级数分析

主要内容 三角函数形式的傅氏级数 指数函数形式的傅氏级数

两种傅氏级数的关系 频谱图

函数的对称性与傅里叶级数的关系 周期信号的功率

X

一.三角函数形式的傅里叶级数1.三角函数集 cos n 1t , sin n 1t 是一个完备的正交函数集t 在一个周期内，n=0,1,...

由积分可知

T , cos n 1t cos m 1t dt 2 0, T T , 2 sin n 1t sin m 1t dt 2 T2 0,

T 2 T 2 T 2 T 2

cos n 1t sin m 1t dt 0

m n m n m n m nX

2.级数形式2 周期信号 f t , 周期为T1 , 基波角频率为 1 T1 在满足狄氏条件时，可展成f ( t ) a0 an cos n 1t bn sin n 1t n 1

1

称为三角形式的傅里叶级数，其系数1 t 0 T 直流分量 a0 f (t ) d t t0 T 2 t 0 T 余弦分量的幅度 an t f (t ) cos n 1t d t T 0 2 t 0 T 正弦分量的幅度 bn f (t ) sin n 1t d t T t0

X

其他形式余弦形式f ( t ) c 0 c n cos n 1 t n n 1

2

c0 a0

cn a b2 n

2 n

an cn cos n bn cn sin n正弦形式n 1

bn n arctan a n

f (t ) d 0 d n sin n 1t n 2 2 d n an bn

(3)

d 0 a0 an d n sin n

bn d n cos n

bn n arctan a n

X

幅度频率特性和相位频率特性周期信号可分解为直流 ，基波( 1 )和各次谐波 (n 1 : 基波角频率的整数倍) 的线性组合。

cn ~ 关系曲线称为幅度频谱图；

n ~ 关系曲线称为相位频谱图。周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。

cn c0

c1

φn c2 c3 nω1 π

0

ω1

3ω1

ω

0 ω1 3ω1 nω1

ωX

二.指数函数形式的傅里叶级数1.复指数正交函数集 2.级数形式 3.系数推导f (t )

e j n 1t n

n 0, 1, 2

F ( n 1 ) e j n 1t

4

f (t ) a0 an cos n 1t bn sin n 1t n 1

利用欧拉公式1 jn 1t jn 1t sin n 1t e e 2jcos n 1t 1 jn 1t e e jn 1t 2

an jbn jn 1t an +jbn -jn 1t f (t ) a0 e e 2 2 n 1 1 F (n 1 ) an jbn 2 令

1 F ( n 1 ) an +jbn 2

X

二.指数函数形式的傅里叶级数f (t ) a0 F (n 1 )e jn 1t F ( n 1 )e-jn 1t n 1

考虑到：

F ( n 1 ) en 1

j n 1t

=

n 1

F (n 1 ) e jn 1t

得到f ( t )的指数形式傅

里叶级数：

f (t )

n

F ( n 1 ) e j n 1t

4 5 X

1 t0 T1 F n 1 f (t ) e jn 1t d t T t0

二.指数函数形式的傅里叶级数1 F (n 1 ) an jbn 2 1 T n 1t d t j 1 f ( t ) cos T 0 T

T

0

f ( t ) sin n 1t d t利用欧 拉公式

1 T f (t )e jn 1t d t T 0F ( n 1 )

1 an j bn 2 1 T 1 T f (t ) cos n 1t d t j f (t )sin n 1t d t T 0 T 0

1 T j n 1t f (t )e d t T 0 1 t0 T1 因此 F n 1 f (t ) e j n 1t d t T t0

5

X

说明f (t ) n

F ( n 1 ) e j n 1t

4 5 1

1 t0 T1 F n 1 f (t ) e jn 1t d t T t0 周期信号可分解为 的线性组合。

, 区间上的指数信号 e jn t

如给出F (n 1 ),则f t 唯一确定， )、 )式是一对 (4 (5 变换对。X

三.两种系数之间的关系及频谱图F0 c0 d0 a0(n 1, 2,...)

1 Fn Fn e an jbn 2 1 j n F n F n e an +jbn 2 1 1 1 2 2 Fn F n cn d n an bn 2 2 2j n

an Fn F n bn j( Fn F n ) cn 4Fn F nX

幅频特性和相频特性幅频特性 相频特性1 2 1 2 F ( n 1 ) a n bn c n 2 2 bn n arctan a n 关于 的偶函数(实际 n 取正值) 关于 的奇函数(实际 n 取正值) 关于 的偶函数 关于 的奇函数X

an bn F ( n 1 )

n 1

复数频谱图幅度谱Fn

Fn

a 相位谱

2

0

2

0

4

n 102 n 1

n

c n 1

b

X

四.总结(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式(2)两种频谱图的关系 (3)周期信号的频谱是离散谱，三个性质 (4)引入负频率

X

(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式三角形式f ( t ) a0 an cos n 1t bn sin n 1t n 1

= c0 cn cos(n 1 t n )n 1

指数形式

f (t )

n

F ( n )1

e

j n 1 t

X

(2)两种频谱图的关系● 三角函数形式： n ~ , n ~ c

单边频谱

指数函数形式：n ~ , n ~ 双边频谱 F1 关系 F ( n 1 ) cn n 0 2● 指数形式的幅度频谱为 偶函数

F0 c0 a0

F ( n 1 ) F ( n 1 )●

相位频谱为奇函数

( n 1 ) ( n 1 )X