无限冲激响应数字滤波器设计

无限冲击响应数字 滤波器设计2011.11.7

第一部分

数字滤波器简介一.概念 二.系统函数 三.数字滤波器的技术要求

一.概念数字滤波器： 数字滤波器：输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系 改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤出某些频率成 分的器件。由乘法器、加法器和单位延时器组成的一种运算 过程，其功能是对输入离散信号进行运算处理，以达到改变 信号频谱的目的。 分 类： 1)根据频域特性可分为低通、高通、带通和带阻四个 基本类型； 2)根据时域特性可分为无限长单位冲激响应滤波器 IIR和有限长单位冲激响应滤波器FIR

二. 系统函数

IIR:

H (z) =

∑ ∑N 1 k =0

M

k =0 N

bk z k a k z k

k =0

FIR:

H ( z ) = ∑ bk z

k

三.数字滤波器的技术要求 数字滤波器的技术要求1)数字滤波器的传递函数

H (e

jω

) = H (e

jω

)e

jφ ( ω )

H ( e jω ) 为幅频特性， φ (ω ) 为相频特性。 其中2)数字滤波器的技术要求

ω p :通带截至频率 通带截至频率

ω s :阻带截至频率 阻带截至频率通 带 0 ≤ ω ≤ωp 过渡带 阻

δ1δ2

:通带容限 通带容限 :阻带容限 阻带容限

(1 δ1) ≤ H(ejω) ≤1曲线单调下降

ω p ≤ ω ≤ ωs

带 ωs ≤ ω ≤ ∏

H(e jω ) ≤ δ2

在具体的技术指标中往往使用通带允许的最大衰减 α 1 及阻带最小衰减 α 2 。 1 ,α 2 的定义为： α

α1 = 20 lg

H (e j 0 ) H (ejω p

)

= 20 lg H ( e

jω p

) = 20 lg(1 δ 1 )

α 2 = 20 lg

H (e j 0 ) H (e jωs )j0

= 20 lg H (e jωs ) = 20 lg δ 2H (e jω ) 在ω p 已被归一化。例如，

式中假定 H(e ) = 1p

处满足H ( e jω ) = 0 .707 ,则α1 足

= 3dB ;在 ω s H ( e jωs ) = 0.001 ,则α 2 = 60dB。

处满

第二部分

IIR滤波器设计一.滤波器特点及设计方法概述 二.模拟滤波器 三.模拟滤波器数字化

IIR滤波器的设计方法概述 一. IIR滤波器的设计方法概述(1)借助于模拟滤波器的设计方法进行设计 H(s)- H(z) 先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s),然后将Ha(s)按 先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s),然后将Ha(s)按 Ha(s) Ha(s) 某种方法转换成数字滤波器的系统函数H (Z), 某种方法转换成数字滤波器的系统函数H (Z),因为模拟滤 波器的设计方法相对比较成熟，它不仅有完整的设计公式， 波器的设计方法相对比较成熟，它不仅有完整的设计公式， 也有完整的图表供查阅，所以此方法较为简单。 也有完整的图表供查阅，所以此方法较为简单。 (2)直接在频域或者时域中进行设计 频域直接设计：幅度平方设计法。 频域直接设计：幅度平方设计法。 时域直接设计：怕德逼近法，波形形成滤波器。 时域直接设计：怕德逼近法，波

形形成滤波器。

IIR滤波器的特点： IIR滤波器的特点： 滤波器的特点1)系统的单位冲激响应h(n)是无限长的。 系统的单位冲激响应h 是无限长的。 2)系统函数H(z)在有限z平面上有极点存在。 系统函数H 在有限z平面上有极点存在。 3)结构上存在着输出到输入的反馈，也就是在结构上存在递 结构上存在着输出到输入的反馈， 归型的。 归型的。

二.模拟滤波器为了从模拟滤波器设计IIR数字滤波器，必须先设计一 个满足技术指标的原型模拟滤波器，也就是把数字滤波器的 指标转化成模拟原型滤波器的指标。模拟低通滤波器逼近有 巴特沃斯型、切贝雪夫型和考尔型滤波器。而带通、带阻和 高通滤波器可以有低通滤波器利用变量变换的方法得到，故 一下以低通滤波器为例。设计模拟滤波器是根据一组设计规 范来设计模拟系统函数Ha(s),使其逼近某个理想滤波器 特性。

由幅度平方函数确定系统函数模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数来表示，即：

H a ( j )

2

* = H a ( j ) H a ( j )

由于滤波冲激响应ha(t)是实函数，因而有：* H a ( j ) = H a ( j )

所以：

Ha ( j ) = Ha ( j )Ha ( j ) = Ha (s)Ha ( s) s= j 2

其中Ha(s)是模拟滤波器的系统函数， Ha ( j ) 是滤波器的稳 态响应即频率特性，H a ( j ) 是滤波器的稳态幅度特性。

现在的问题是已知 Ha ( j ) 求得Ha(s)2

由 Ha ( j ) 确定Ha(s)的方法如下：2

1)由 H a ( j )

2 2 = s2

= H a ( s) H a ( s)得到象限对称的s平面函数。

2)将 H a ( s ) H a ( s )因式分解，得到各零点和极点。将左半 平面的极点归于Ha(s),如无特殊要求可取Ha(s)Ha(-s) 以虚轴为对称轴的对称零点的任意一半分配给Ha(s)如果 要求是最小相位延时滤波器则取左半平面零点作为Ha(s) 的零点； j 轴上的零点应该是偶次的，其中一半(应为共 轭对)属于Ha(s)。 3)按照Ha ( j )与Ha(s)的低频特性和高频特性的对比就可以 确定出增益常数。 4)由求出的Ha(s)的零点、极点和增益常数，则可以完全确 定出系统函数Ha(s)。

零、极点分布：

设Ha(s)有一个极点(或零点)位于s=s0处，由ha(t) 即冲激响应 为实数，则极点和零点必须以共轭对的形式出现， * s 处也必有一个零点或极点，所以与之对应的Ha = s0 因而 * s = s0必有极点或零点。 0 (-s)在 s = s和 H a ( s ) H a ( s ) 的极点零点分布式成象限对称的。任何 可实现的滤波器都是稳定的，因此其系统函数Ha(s)的极点 一定落于s的左半平面，右半平面的极点属于Ha(-s)。

例1.根据以下幅度平方函数 确定系统函数Ha(s)。 解：先求

H a ( s ) H a ( s )H a (s )H a ( s ) = H a ( j )2

16 (25 2 ) H a ( j ) = (49 + 2 )(36 + 2 )2 2

2 = s2

16(25 + s 2 ) = (49 s 2 )(36 s 2 )2

确定零点极点： 极点 s = ±7, s = ±6, 零点s = ± j5 选出左半平面的极点s=-7,s=-6及一对虚轴共轭零点为Ha(s) 的零、极点，并设增益常数为K0,则得Ha

(s ) =

K 0 (s (s + 7

2

+ 25 ) )(s + 6 )

由 Ha (s) s=0 = Ha ( j ) =0 的条件可得增益数 K 0 = 4 最后得 4 ( s 2 + 25) 4 s 2 + 100 H a (s) = = 2 (s + 7 )(s + 6 ) s + 13 s + 42

巴特沃斯低通滤波器的设计方法1.巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数定义为： 1 2 H a ( j ) = 2N 1+ c N为阶次， c 为截止频率。 当 = 时有： H ( j ) 2 = 1 c a c2

即：

H a ( j 0) 1 H a ( j c ) = , α1 = 20 lg = 3dB H a ( j c ) 2

2、幅频特性 (1)通带内有最大平坦的幅度特性； (2)通带和阻带内幅度特性单调变化 (3)N愈大通带内幅度愈接近1,过 渡带幅度下降愈快，愈接近理 想曲线。 (2)不管N为多少，都通过 3dB点。 。 N=8

Ha ( j )1 N=21 2

N=4

c巴特沃斯幅度特性和N的关系