放缩法技巧全总结(非常精辟_是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈

2010高考数学备考之放缩技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求

n

4k

k 1

2

2

的值; (2)求证:

1

k

k 1

n

1

2

5. 3

解析:(1)因为 (2)因为1

24n2 1

1

211,所以n212n 1 2

(2n 1)(2n 1)2n 12n 12n 12n 1k 14k 1

4

n

1111 25 1 ,所以 1 1 2 1 1 2 2 2n 12n 1 33 35k 1k4n2 1n2 2n 12n 1 n2

4

奇巧积累:(1)1 4

22

n

4n

2111 (2)1 1 2 122

4n 1 2n 12n 1 Cn 1Cn(n 1)n(n 1)n(n 1)n(n 1)

4

(3)T

r 1

r

Cn

1n!11111

r (r 2) r

r!(n r)!nr!r(r 1)r 1rn

(4)(1 1)n 1 1 1

n2 1

115

3 2n(n 1)2

1

n 2 n n 2

1 111 2 n n 1n

(2n 1) 2(2n 3) 2 2n 12n 3 2

(5)

111 (6)

n n

nn

2(2 1)2 12

(7)2(n 1 n) 1 2( 1) (8)

n (9)

111 111 11

,

k(n 1 k) n 1 kk n 1n(n 1 k)k 1 nn 1 k

n11 (11)

1

( ) (n 1)!n!(n 1)!

n

222n 1 2n 1

n

211

n 22

(10)

(11)

2n2n2n2n 111 n 1 n(n 2)n2nnnnnn 1

(2 1)(2 1)(2 1)(2 1)(2 2)(2 1)(2 1)2 12 1

1n n2

111

n(n 1)(n 1) (n 1) n(n 1) n 1 n 1

1

(12) 1

n3

1

n 1

1 n 1

n 1 2n

11n 1

1 1

n

(13) 2n 1 2 2n (3 1) 2n 3 3(2n 1) 2n 2n 1 2

312n

2n 13

(14)

k 211 (15)

k! (k 1)! (k 2)!(k 1)!(k 2)!

1

n n 1(n 2)

n(n 1)

(15)

i2 1 j2 1i2 j2

i j(i j)(2 1

j2 1)

i j2 1

j2 1

1

171例2.(1)求证:1 1 1 (n 2) 222

62(2n 1)35(2n 1)

(2)求证:1 1 1 1 1 1 2

416364n24n

(3)求证:1 1 3 1 3 5 1 3 5 (2n 1)

22 42 4 62 4 6 2n

2n 1 1

(4) 求证：2( 1 1) 1 1 1 1 2(2n 1 1)

2

n

解析:(1)因为

111 11 ,所以 2

(2n 1)(2n 1)2 2n 12n 1 (2n 1)

(2i 1)

i 1

n

1

2

111111

1 ( ) 1 ( )

232n 1232n 1

(2)1 1 1 1 1(1 1 1) 1(1 1 1)

222

416364n42n4n

(3)先运用分式放缩法证明出1 3 5 (2n 1)

2 4 6 2n

2n 1 12n 1

,再结合

1n 2

2 n

进行裂项,最后就可以得到答案

(4)首先1

n

2(n 1 n)

,所以容易经过裂项得到

1

n

2(n 1 1) 1

12

13

再证

1n

2(n 1 n 1)

22n 1 2n 1

n

211 n 22

而由均值不等式知道这是显然成立的，所以

1

12

1

1n

2(2n 1 1)

例3.求证:

6n1115

1 2

(n 1)(2n 1)49n3

1n2

4

1 1

2 2

4n 1 2n 12n 1 4

解析:一方面:因为1

n2

,所以

k

k 1

n

1

2

11 25 11

1 2 1

2n 12n 1 33 35

11n 另一方面:1 1 1 1 1 1 1 1 2

49n2 33 4n(n 1)n 1n 1

当n 3时,n

n 1

6n1116n,当n 1时, 1 2,

(n 1)(2n 1)49n(n 1)(2n 1)

当n 2时,

6n111

1 2,所以综上有

(n 1)(2n 1)49n

6n1115 1 2

(n 1)(2n 1)49n3

例4.(2008年全国一卷) 设函数f(x) x xlnx.数列 an 满足0 a1 1.an 1 f(an).设b (a1，1)，整数k≥a1 b.证

a1lnb明:ak 1 b.

解析:由数学归纳法可以证明 an 是递增数列,故存在正整数m k,使am b,则

ak 1 ak b,否则若am b(m k),则由0 a1 am b 1知

amlnam a1lnam a1lnb 0,a

k 1

ak aklnak a1 amlnam,因为 amlnam k(a1lnb),

m 1

m 1

kk

于是ak 1 a1 k|a1lnb| a1 (b a1) b

例5.已知n,m N ,x 1,Sm 1m 2m 3m nm,求证: nm 1 (m 1)Sn (n 1)m 1 1.

解析:首先可以证明:(1 x)n 1 nx

nm 1 nm 1 (n 1)m 1 (n 1)m 1 (n 2)m 1 1m 1 0 [km 1 (k 1)m 1]所以要证

k 1n

nm 1 (m 1)Sn (n 1)m 1 1只要证:

[km 1 (k 1)m 1] (m 1) km (n 1)m 1 1 (n 1)m 1 nm 1 nm 1 (n 1)m 1 2m 1 1m 1 [(k 1)m 1 km 1] 故只

k 1

k 1

k 1

nnn

要证

[km 1 (k 1)m 1] (m 1) km [(k 1)m 1 km 1],即等价于

k 1

k 1

k 1

nnn

km 1 (k 1)m 1 (m 1)km (k 1)m 1 km,即等价于1 m 1 (1 1)m 1,1 m 1 (1 1)m 1

kkkk

而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知an 4n 2n,T

n

2n,求证:T T T T 3.

123n

2a1 a2 an

nn

解析:T 41 42 43 4n (21 22 2n) 4(1 4) 2(1 2) 4(4n 1) 2(1 2n)

n

1 41 23

所以

2n2n3 2n32n

Tn n 1 n 1 n 1

4n44424 3 2n 1 222 (2n)2 3 2n 1(4 1) 2(1 2n) 2 2n 1 2n 133333

32n3 11 n n 1 nn

2(2 2 1)(2 1)2 2 12 1

2n

从而T T T T 3 1 1 1 1 1 1 3

123n

2 3372n 12n 1 1 2例7.已知x1 1,x n(n 2k 1,k Z),求证:

n

n 1(n 2k,k Z)

1

x2 x3

1

1

x4 x5

1

1

x2nx2n 1

(n 1 1)(n N*)1

证明:

x2nx2n 1

2n 1)(2n 1)

1

4

4n 1

22

1

4n

2

2

12 n

,因为 2n

2 ,所以 所以

4

x2nx2n 1

1

2( 1 n)

1x2 x3

1

4

x4 x5

1

4

x2nx2n 1

2(n 1 1)(n N*)

二、函数放缩

例8.求证：ln2 ln3 ln4 ln3 3n 5n 6(n N*).

2343n6

解析:先构造函数有lnx x 1 lnx 1 1,从而ln …… 此处隐藏：17706字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……