第四讲振动的基础知识2

第一章 振动的基础知识

内容提要1.1 1.2 1.3

振动概述 振动的合成(重点) 振动的合成(重点) 小结

内容提要1.为什么要学习振动？ 1.为什么要学习振动？ 为什么要学习振动 2.什么样的运动是振动？ 2.什么样的运动是振动？ 什么样的运动是振动 3. 为什么要学习简谐振动？ 为什么要学习简谐振动？ 4.简谐振动有何特征？ 4.简谐振动有何特征？ 简谐振动有何特征 5.复杂振动与简谐振动有何关系？ 5.复杂振动与简谐振动有何关系？ 复杂振动与简谐振动有何关系

§1.1 振动概述——振动的引入 振动概述——

§1.1 振动概述——振动的引入 振动概述——振动与信号？ 振动与信号？ 振动理论是声学、地震学、光学、 振动理论是声学、地震学、光学、电子等 是声学 学科的基础知识。 学科的基础知识。

简谐振动是最基本的振动， 简谐振动是最基本的振动，是介质中形成 是最基本的振动 波的基本根源。 波的基本根源。 任何振动都可表示为简谐振动的合成。 任何振动都可表示为简谐振动的合成。

§1.1 振动概述——简谐振动弹簧振子 ——简谐振动弹簧振子M O F

§1.1 振动概述——简谐振动弹簧振子 ——简谐振动弹簧振子由胡克定律 F=F=-kx 由牛顿第二定律 a=F/m=-kx/m=-(k/m)x=a=F/m=-kx/m=-(k/m)x=-ω2x 又a=d2x/dt2 d2x/dt2+ω2x=0 该微分方程的解表示为 cos(ωt+φ sin(ωt+φ x=A1cos(ωt+φ1)或x=A2sin(ωt+φ2)由此可知，简谐振动是一种周期运动，可用三角函数来描述。 由此可知，简谐振动是一种周期运动，可用三角函数来描述。

§1.1 振动概述——简谐振动的几个要素 ——简谐振动的几个要素1.振动的振幅A 振动物体离开平衡位置的最大距离， 1.振动的振幅A:振动物体离开平衡位置的最大距离，表示振动 振动的振幅 强弱的物理量。 强弱的物理量。 2.振动的周期T 物体完成一次全振动所需要的时间， 2.振动的周期T:物体完成一次全振动所需要的时间，表示振动 振动的周期 快慢的物理量。 快慢的物理量。 1s内振动的次数 3.振动的频率f 振动物体在1s内振动的次数， 3.振动的频率f:振动物体在1s内振动的次数，也是表示振动快 振动的频率 慢的物理量。T=1/f.由于三角函数周期为2 慢的物理量。T=1/f.由于三角函数周期为2π,固有 T=2π =2π/T=2πf,ω为角频率， ωT=2π,ω=2π/T=2πf,ω为角频率，表示振动物体每 秒转过的弧度。 秒转过的弧度。 4.振动的初相位：相位为从选定一个起始时刻 算起到时刻t 4.振动的初相位：相位为从选定一个起始时刻t0算起到时刻t 振动的初相位 为从选定一个起始时刻t 内所振动了的周期数(t )/T.初相位角 (t初相位角为初始位置的时 内所振动了的周期数(t-t0)/T.

初相位角为初始位置的时 刻到y为最大值的时刻之间的时间差与角频率的乘积。 刻到y为最大值的时刻之间的时间差与角频率的乘积。

§1.1 振动概述——简谐振动图示 ——简谐振动图示yφ/ω T=2π T=2π/ω

2A

O

t

§1.1 振动概述——简谐振动模拟实例 ——简谐振动模拟实例dt=0.02;f=3;t=0:dt:5; x=0.5*sin(2*pi*f*t+pi/4); plot(t,x); xlabel('时间 xlabel('时间/s') 时间/s') ylabel('振幅 ylabel('振幅') 振幅')

改变频率、振幅、初相，观察图形的变化。 改变频率、振幅、初相，观察图形的变化。

§1.2 振动的合成

1.2.1 频率相同的两个简谐振动的合成

1.2.2 同一直线上不同频率的两个简谐振动的合成

§1.2.1 频率相同的两个简谐振动的合成若某质点同时参与两个在同一直线上、频率相同的简谐振动， 若某质点同时参与两个在同一直线上、频率相同的简谐振动， 分别表示为

则

y = y1 + y2 = A sin(ωt + )式中2 A = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos( 1 2 )

{

y1= A1 sin(ωt + 1 ) y 2 = A2 sin(ωt + 2 )

A1 sin 1 + A2 sin 2 tan = A1 cos 1 + A2 cos 2

§1.2.1 频率相同的两个简谐振动的合成实例：模拟两个振动频率均为3Hz、采样间隔为0.02s的200个时间点的 3Hz、 0.02s的 实例：模拟两个振动频率均为3Hz 采样间隔为0.02s 200个时间点的 合成。第一个振动的振幅为0.5,初相为1,第二个振动的振幅为 0.5, 合成。第一个振动的振幅为0.5 初相为1 0.3,初相为2.2 绘出原始两个振动和合成振动随时间的变化。 0.3,初相为2.2。绘出原始两个振动和合成振动随时间的变化。 2.2。 思考： 思考：若两个振动的初相N=200;dt=0.02;f1=3; f2=3;

相同，合成振动的振幅和 相同，n=0:Nn=0:N-1; t=n*dt; x1=0.5*sin(2*pi*f1*t+1); x2=0.3*sin(2*pi*f2*t+2.2); figure,subplot(3,1,1),plot(t,x1);ylim([figure,subplot(3,1,1),plot(t,x1);ylim([-1 1]); title('第一个振动 title('第一个振动') 第一个振动') subplot(3,1,2),plot(t,x2);ylim([subplot(3,1,2),plot(t,x2);ylim([-1 1]); title('第二个振动 title('第二个振动') 第二个振动') subplot(3,1,3),plot(t,x1+x2);ylim([subplot(3,1,3),plot(t,x1+x2);ylim([-1 1]);1 1 0 -1

初相位将怎样变化？ 初相位将怎样变化？? ? ? ? ?

0

0.5

1

1.5

2 ? ? ? ? ?

2.5

3

3.5

4

1 0 -1

0

0.5

1

1.5

2 ? ? ? ?

2.5

3

3.5

4

title('合成振动 title('合成振动') 合成振动')0

xlabel('时间 xlabel('时间/s') 时间/s')-1 0 0.5 1 1.5 2 ? ? /s 2.5 3 3.5 4

练习：试用符号方程编程以及隐函数绘制 练习： ezplot完成以图形绘制 ezplot完成以图形绘制1/2 sin(6 π t+1) 0.5 0

syms f1 f2 t x1=0.5*sin(2*pi*f1*t+1); x2=0.3*sin(2*pi*f2*t+2.2); x3=x1+x2 x1=subs(x1,f1,3) x2=subs(x2,f2,3) x3=x1+x2 figure,subplot(3,1,1),ezplot(x1,[0 4]) subplot(3,1,2),ezplot(x2,[0 4]) subplot(3,1,3),ezplot(x3,[0 4])-0.5 0 0.2 0 -0.2 0 0.

5 0 -0.5 0

0.5

1

1.5

2 2.5 t 3/10 sin(6 π t+11/5)

3

3.5

4

0.5

1

2 2.5 3 t 1/2 sin(6 π t+1)+3/10 sin(6 π t+11/5)

1.5

3.5

4

0.5

1

1.5

2 t

2.5

3

3.5

4

§1.2.1

同一直线上不同频率的两个简谐振动的合成 同一直线上不同频率的两个简谐振动的合成

1.频率相差较大时的情况： 1.频率相差较大时的情况： 频率相差较大时的情况(1)高频小振幅与低频大振幅的叠加samp1_3 高频小振幅与低频大振幅的叠加samp1_3 (2)高频大振幅与低频小振幅的叠加

2.频率相差较小时( 2.频率相差较小时(‘拍现象’)的情况： 频率相差较小时 现象’ 的情况：(1)改变其中一个振动的初相，包络线的变化samp1_5 改变其中一个振动的初相，包络线的变化samp1_5 (2)改变其中一个振动的频率，包络线的变化samp1_6 改变其中一个振动的频率，包络线的变化samp1_6

y = A sin(ω1t + ) + A sin(ω2t + ) = A sin(其中A = 2 A0 cos(

ω1 + ω22

t + )

ω1 ω22

t)

第第第第第

%Samp1_3 N=200;dt=0.02;f1=1;f2=9; %采样点数、间隔和 %采样点数、 采样点数 两个振动的频率 n=0:Nn=0:N-1;t=n*dt; %定义时间离散值 %定义时间离散值

0.5

0

-0.5

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