实验3_插值与数值积分

数学实验作业 MATLAB

实验3 插值与数值积分

化工系 分0班 2010011805 张亚清

【实验目的】

1、 掌握用MATLAB计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，

对三种插值结果进行初步分析。

2、 掌握用MATLAB及梯形公式、辛普森公式计算数值积分。 3、 通过实例学习用插值和数值积分解决实际问题。

【实验内容】 1、 题目1（3）

选择一些函数，在n个节点上（n不要太大，如5~11）用拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值方法，计算m个插值点的函数值（m要适中，如50~100）。通过数值和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较。适当增加n，再作比较，由此作初步分析。

(3) y=cos10x, -2≤x≤2.

【问题分析】

由于对称性，只分析函数在x正半轴的情况即可。取9个节点，即以-2为首项，公差为0.8的等差数列。所求插值点设为81个，即以-2为首项，公差为0.05的等差数列。

【问题解答】 程序如下：

x0=-2:0.8:2; y0=cos(x0).^10; x=-2:0.05:2; y=cos(x).^10; y1=lagr(x0,y0,x); y2=interp1(x0,y0,x); y3=spline(x0,y0,x); for k=1:21

xx(k)=x(39+2*k); yy(k)=y(39+2*k); yy1(k)=y(39+2*k); yy2(k)=y2(39+2*k); yy3(k)=y3(39+2*k); end

A=[xx;yy;yy2;yy3]' z=0*x;

plot(x,z,'k:',x,y,'k--',x,y1,'m',x,y2,'r',x,y3,'b') title('图1.三种插值方法的对比');

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gtext('原函数') gtext('拉格朗日插值'); gtext('分段线性插值'); gtext('三次样条插值');

插值点数为81时，输出的计算结果如表1，其中y=cos10x，（1） 当节点数为6，y1，

y2，y3依次是拉格朗日、分段线性、三次样条插值，与精确值y相比，显然他

们在节点处相等。X在[0,0.6]的范围内，三种方法的偏差都很大，在[0.7，1.2]的范围内，三种方法得到的插值结果很接近，但和原函数还是有一定偏差，在[1.2,2]的范围内，分段线性插值的结果和原函数吻合的最好，三次样条插值和拉格朗日插值都出现了龙格现象。由于原函数是偶函数，所以在负数范围内结论一样。

表1

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从图1中看出，[-0.6,0.6]范围内，分段线性插值法得到的曲线水平，与原函数差异很大，这是由于分段插值法两节点之间的数治愈两节点的值有关，缺失了中间的信息造成的。

（2） 当节点数增加为9，插值点数仍为81时，输出的计算结果如下：

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由图可见，三次样条插值的图形几乎与原函数完全重合，分段线性插值的结果比上一次更接近原函数，拉格朗日插值在[-0.5,0.5]范围内与原函数结果接近，在[1.5,2]范围内，出现了龙格现象，插入点数值偏离了原函数的值，与情况（1）相比，偏离更大。

（3） 当适当增加节点数，使得节点数目达到41个，插值点个数应相应增加为200个

时，由于节点增多，所以这种情况三种方法得到的结果都与原函数很接近，三种方法得到的曲线几乎都与原函数重合，如下图：

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由此可见，当增加节点个数时，插值函数均更加逼近原函数。

2、 题目10

下表给出的x，y数据位于机翼剖面的轮廓线上，y1和y2分别对应轮廓的上下线。假设需要得到x坐标每改变0.1时的y坐标。试完成加工所需数据，画出曲线，求机翼剖面的面积。 x 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15

【问题分析】

给定的数据点是有限的，要想确定更多的数据，就要运用插值方法。而加工断面的面积，则应通过数值积分分别求出上下轮廓线对x轴围城的面积，然后做差求得。

【问题解答】

运用插值方法，程序如下：

%题目中给的节点数据 x=[0,3:2:11,12:15];

y1=[0,1.8,2.2,2.7,3.0,3.1,2.9,2.5,2.0,1.6]; y2=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6]; u=0:0.1:15;

L1=lagr(x,y1,u); L2=lagr(x,y2,u); I1=interp1(x,y1,u); I2=interp1(x,y2,u); S1=spline(x,y1,u); S2=spline(x,y2,u);

subplot(1,3,1),plot(u,L1,'m',u,L2,'m') title('图1.拉格朗日插值');

subplot(1,3,2),plot(u,I1,'r',u,I2,'r') title('图2.分段线性插值');

subplot(1,3,3),plot(u,S1,'b',u,S2,'b') title('图3.三次样条插值'); %梯形求积公式 z1=trapz(u,S1); z2=trapz(u,S2); z=z1-z2

%辛普森求积公式 k=length(S1);

S11=[S1(2:2:k-1)];s1=sum(S11); S12=[S1(3:2:k-1)];s2=sum(S12);

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zz1=(S1(1)+S1(k)+4*s1+2*s2)*0.1/3; l=length(S2);

S21=[S2(2:2:l-1)];ss1=sum(S21); S22=[S2(3:2:l-1)];ss2=sum(S22);

zz2=(S2(1)+S2(l)+4*ss1+2*ss2)*0.1/3; zz=zz1-zz2

A=[u;I1;I2;S1;S2]';

绘图得到如下三幅图，可以看出拉格朗日插值法得出的图形与实际不符，不予考虑。三次样条插值法得到的图形比分段线性插值法得到的曲线更光滑。

用matlab计算，梯形求积公式得到加工剖面面积为11.3444，用辛普森公式得到加工剖面面积为11.3460，两种方法得到的结果近似。 插值后得到的加工数据如下表：

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[键入文字]

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数学实验

张亚清

2010011805

0.9000 1.0000 1.1000 1.2000 1.3000 1.4000 1.5000 1.6000 1.7000 1.8000 1.9000 2.0000 2.1000 2.2000 2.3000 2.4000 2.5000 2.6000 2.7000 2.8000 2.9000 3.0000 3.1000 3.2000 3.3000 3.4000 3.5000 3.6000 3.7000 3.8000 3.9000 4.0000 4.1000 4.2000 4.3000 4.4000 4.5000 4.6000 4.7000 4.8000 4.9000 5.0000 5.1000

0.5400 0.6000 0.6600 0.7200 0.7800 0.8400 0.9000 0.9600 1.0200 1.0800 1.1400 1.2000 1.2600 1.3200 1.3800 1.4400 1.5000 1.5600 1.6200 1.6800 1.7400 1.8000 1.8200 1.8400 1.8600 1.8800 1.9000 1.9200 1.9400 1.9600 1.9800 2.0000 2.0200 2.0400 2.0600 2.0800 2.1000 2.1200 2.1400 2.1600 2.1800 2.2000 2.2250

0.3600 0.4000 0.4400 0.4800 0.5200 0.5600 0.6000 0.6400 0.6800 0.7200 0.7600 0.8000 0.8400 0.8800 0.9200 0.9600 1.0000 1.0400 1.0800 1.1200 1.1600 1.2000 1.2250 1.2500 1.2750 1.3000 1.3250 1.3500 1.3750 1.4000 1.4250 1.4500 1.4750 1.5000 1.5250 1.5500 1.5750 1.6000 1.6250 1.6500 1.6750 1.7000 1.7150

0.8314 0.9047 0.9747 1.0413 1.1047 1.1651 1.2225 1.2770 1.3287 1.3778 1.4244 1.4685 1.5104 1.5499 1.5874 1.6229 1.6565 1.6884 1.7185 1.7471 1.7742 1.8000 1.8245 1.8480 1.8704 1.8918 1.9125 1.9325 1.9519 1.9708 1.9894 2.0076 2.0258 2.0439 2.0620 2.0803 2.0989 2.1179 2.1374 2.1575 2.1784 2.2000 2.2225

0.4230 0.4665 0.5094 0.5515 0.5930 0.6338 0.6739 0.7134 0.7523 0.7904 0.8280 0.8649 0.9012 0.9368 0.9719 1.0063 1.0401 1.0732 1.1058 1.1378 1.1692 1.2000 1.2302 1.2599 1.2889 1.3174 1.3454 1.3727 1.3995 1.4258 1.4515 1.4767 1.5014 1.5255 1.5491 1.5722 1.

5947 1.6168 1.6383 1.6594 1.6799 1.7000 1.7196

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