线性代数高等教育出版社第二版卢刚主编课后习题答案

线性代数高等教育出版社第二版卢刚主编课后习题答案

第五章 二 次 型

习 题 五

1、设A为n阶实对称矩阵，如果对任一n维列向量X R，都有XAX 0，试证：A=O。

证明：因为矩阵A为实对称矩阵，设为

a11 a21

A=

a n1

令 X=(x1,x2, ,xn) R,

T

n

a12a22 an2

a1n

a2n

，其中aij aji(i,j=1,2,…,n).

ann

由已知得，二次型 f(x1,x2, ,xn)=XAX=

T

首先取X i (0, ,0,1,0, ,0)，(i=1,2,…,n) 则 iA i aii 0，(i=1,2,…,n) 即主对角线上的元素都为零。

T

hd

T

.k

其次，取X (0, ,0,1,0, ,0,1,0, ,0)， 又 aii ajj aij aji 0，

aw

T

a

i 1

n

ii

xi2+2

X

w

w

w

因aii ajj 0，A为对称矩阵，所以

2aij 0 (i=1,2,…,n；j=1,2,…,n) 因此 A=O。

2、试证：二次型

f(x1,x2, ,xn)=2为正定二次型。

证明：此二次型的矩阵为

x

i 1

n

2i

+2

1 i j n

xx

i

.com

n

（B）

T

1 i j n

a

ij

xixj=0。

T

AX 0

，有

j

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2 1

A=

1 1

显然A1=2>0,A2=

12 11

11

11

，

21 12

2

1An=

1112 11

11 11 =(n 1) 21 121

2 11

111 110

=(n 1) 210 120

aw

2

因此，此二次型为正定二次型。

3、设n元二次型

f(x1,x2, ,xn)=(x1 a1x2)+(x2 a2x3)+…+(xn 1 an 1xn)

+(xn anx1)

2

其中ai(i=1,2,…,n)为实数。试问：当ai(i=1,2,…,n)满足何种条件时，二次型

f(x1,x2, ,xn)为正定二次型。

解：由题设条件知，对于任意的x1,x2, ,xn，有f(x1,x2, ,xn) 0。其中等号成

w

w

x1 a1x2 0 x ax 0

223

x ax 0

n 1n

n 1 xn anx1 0

1

00an

a1 01 0 00

0

00

=1 ( 1)n 1a1a2 an 0， 1

此方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式

w

所以当a1,a2, ,an 1时，f(x1,x2, ,xn)为正定二次型。

4、已知A为反对称矩阵，试证：E A为正定矩阵。

2

.k

1an 1

立当且仅当

hd

.com

11 00

11 00

=n+1>0， 10 01

2

2

21

=3>0, 12

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证明：因为A为反对称矩阵，所以A A，

因此 E A=(E A)(E A)=(E A)(E A)=(E A)(E A)。 所以E A为正定矩阵。

5、设A是一个实对称矩阵，试证：对于实数t，当t 充分大时，tE+A为正定矩阵。 证明：设A的特征值为 1, 2, , n且 i为实数，取t max{| i|}，则tE+A的特征

1 i n

22

T

T

T

值为 1 t, 2 t, , n t全部大于零。因此，当t max{| i|}时，tE+A为正定矩阵。

1 i n

n

6、设A是实对称矩阵，且detA<0，试证：必存在n维列向量X R，使得XAX 0。 证明：因为A为实对称矩阵，且detA<0，故二次型f(x1,x2, ,xn)=XAX的秩为n，且不是正定的，故负惯性指数至少为1，从而f可经过可逆线性变换X=CY，化成

T

上式右端小于零。但由X=CY所确定的向量X 0，其中1 s n。当yn=1,且其余yi=0时，使（1）式左右两端相等，即有实n维向量X，使XAX 0。

7、求把二次型

T

f(x1,x2,x3)=2x1 9x2 3x3 8x1x2 4x1x3 10x2x3 化为 g(y1,y2,y3)=2y1 3y2 6y3 4y1y2 4y1y3 8y2y3 的可逆线性变换。

2

2

2

解：二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为：

w

4 2 2

A= 49 5

2 53

T

w

w

由初等变换法，可得经过可逆线性变换X=C1Y，使得C1XC1 diag(2,1,0)，

1 2 1

其中 C1= 011

001

二次型g(y1,y2,y3)的矩阵为：

.k

hd

2

aw

2

2

2

f(x1,x2, ,xn)=XTAX=y12 ys2 ys2 1 yn （1）

.c

om

T

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2 2 2

B= 234

246

存在可逆线性变换Y=C2X，使得C2YC2 diag(2,1,0)，

T

所以，存在可逆线性变换X (C2C1)Y，使得f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3)，

1

1 3 2

1

C2C1= 012 。

001

8、设A为实对称矩阵，且

3

2

A 3A 5A 3E 0 问A是否为正定矩阵。

解：设 是A的任一特征值，对应特征向量x 0，即有Ax x，代入已知的等式

A3 3A2 5A 3E 0

3

2

有 (A 3A 5A 3E)x=( 3 5 3)x 0 因为x 0，故 满足 得 =1或 1

3

全部特征值就是 =1>0,因此A为正定矩阵。

9、设A (aij)为n阶正定矩阵。求证A的任一主子式都大于零。

ww

证明：首先，令Ak为A的任一个k阶主子式，

ai1i1 aii

Ak= 21

aii k1

由于A是正定的，故二次型

.k

w

f(x1,x2, ,xn) XAX

对任意不全为零的实数c1,c2, ,cn，都有 f(c1,c2, ,cn) 0，

hd

3

2

3

2

5

2i，因A为实对称矩阵，其特征值一定为实数，故只有 =1，即A的

ai1i2ai2i2 aiki2

aw

3 0

。

ai1ik

ai2ik

aikik

T

.com

11 1

其中 C2= 01 1 ，

001

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从而对不全为零的实数ci1,ci2, ,cik，有

f(0, ,ci1,0, ,ci2, cik, ,0) 0

（即在f(x1,x2, ,xn)中除xi1,xi2, ,xik外其余变量全取0），但是，对变量为

g(ci1,ci2, ,cik)=f(0, ,ci1,0, ,ci2, cik, ,0) 0 故g为正定二次型，从而Ak为正定的。故|Ak|>0。

10、设A为n阶正定矩阵，证明A+E的行列式大于1。

证明：因为A为正定矩阵，不妨设A的特征值分别为 1, 2, , n且 i 0， 则A+E的特征值为 1 1, 2 1, , n 1且 i 1 1，从而有 |A+E|=( 1 1)( 2 1) ( n 1) 1。

101 2

11、设矩阵A= 020 ，矩阵B (kE A)，其中k为实数，E为单位矩阵，求

101

hd

1

0 1

00

10

对角矩阵 ，使B与 相似，并求k为何值时，B为正定矩阵。

解：| E A| =

2

w

w

200

D= 020 。

000

因为A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P，使得

T

PAP D，

T 1

1

T

w

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