多元函数可微的充分必要条件

多元函数可微的充分必要条件

第 3 0卷第 8期 20 09年 8月

井冈山学院学报 (自然科学 ) Ju a o iga gh n U i ri (c nea d Tc nlg) or l fJngnsa nv st Si c n eh o y n e y e o

Vo-O N . l o8 3Au . 0 9 g2 0

多元函数可微的充分必要条件刘孝书，孙跃娟(商丘师范学院数学系，河南商丘 460) 70 0

【摘要】常见的数学分析教材都仅给出二元函数可微的必要条件或充分条件，本文将给出并证明二元函数可微的两个充分必要条件。

【关键词】多元函数；可微；偏导数；充分必要条件【图分类号】0141中 7. [献标识码]A文 【章编号]17— 7 82 0 )80 0— 3文 6 3 4 1 (09 0— 05 0

0引言 现在通用的数学分析教材【在证明函数，,) l】, ( Y

类似地可定义 zfxy在点尸( Y)=(,) 0,o关于对Y一致可导。

定理【若函数 z=厂，)点 P(。Y): 3】 . Y在 ( 0,。有 ( oY )在， (, )于 Y对对一致可导， ,o存 fx)关，且 (oy在 y连续， z ,) 0则 ,) )在点 P(。y), 0,o可微。 戈)在点，),同时文【]指出上述条件仅是函 3也

在点 ( y)在两个偏导数是函数 ( Y在点粕，o存，)P(。 o可微的必要条件后，例说明，元函数存 0,) y举二在两个偏导数不一定可微。显然，函数，)若 )在点，P( y) 0,o可微，函数， )则 )在点 P (o o连续。, 0,) y但

P (o o可微的充分条件， 0,) xy并非必要条件。那么，函戈 y在点 P( y),) 0 o可微的充分必要条件是什么？, 常见的数学分析教材中并没有给出，至国外的微甚积分学教程也没有涉及， 5给出了凸性多元函文[】数可微的一个充要条件。笔者在长期的教学研究中，文[】受 5的启发，得了一般的多元函数可微的获

函数， ) )在点 P(oy), 0,0连续仅是函数， ) )在点，P (o o可微的必要条件， ox, ) y并非充分条件。同时，函

数，)点 P ( y),在， 0,0连续且存在两个偏导数，

也

仅是函数 fx,在点 P oy)微的必要条件， (,), 0x,o可并非充分条件圆。例如函数x y,

两个充分必要条件，介绍给同行，妥之处，现不敬请, -≠0 r y

赐教。

):, ):

~

【 0

,+2 ,0 2,=

1主要结论与证明 定理 1设函 ( Y在点 P (。y) , ) 0,0的邻域 内有定义，函 ( Y在 P ( y)可微的充分则，) 0‰,0点

在点 o o O连续， (,)且与存在，不可微。但 文【】二元函数可微的充分条件进行了深入 3对

的探讨，获得了一个在较弱条件下判断函数厂，) ( Y 可微的条件，即

必要条件是 ( Y在点 P ( y),) 0粕，0的两个偏导数都存在，且

定义变量

如果对于函数￣fx ) -(,存在>0使得，

厂 ) o, (,,),) )

,) y o

, )O p y= () o

当I y<时， (,+ y存在， l7 A x y A ) A 1 oo且当△一 0 时，

其中( Y∈U, N— - o￣(- o2。, ) P=/ X X)— y) (+y证明必要性因为函数，) P( y) y在 0粕，点 0可微，故存 ( Y) (o o,,o X, )且 Y

fl

全 1 ! 2 一 2 2 1垒垒 )A

(△,,△, )

(‰, Ay, )

(≠0 △ )

fx,粕，) (,), y,

,o X,0= y) o, ,)

【 o关于△y一致趋向于 0即，

,

(=) Ax 0

) (,o-￣, ) x, ) x,)绚， ) - x y)Ixy o o o, fo - f o y, y] o=

,

y-( ))【, )— ) x, ) _o ) X,一7 o o(— t ( Y ( y+ f o 0: Y口 ( ooy )’

对任意的 s 0存在 6 0当0<△ f6 >,>, f <时，对任意a (A f ) y 1 y<都有 l( xa ) 8 a, y l成立， O g<我们就称函数 zfx,在点 P(,o关于对一=(,), 0 y)致可导。收稿日期：0 9 0— 4 2 0 - 4 1

a x x)[ y y) (- o+3 - o】 (

其中当 (, ) (0y),, 。 )一 ,0时 O J, lB 由函,

,) P( y) )在 0 0点可微性的假设，,,知

y粕，) . Y (— ( Y) -o O p ) z一 ( o ), ( -) () o-粕，) f o yy=

基金项目：丘师范学院 2o商 0 8年教学改革研究校级资助项目. 作者简介：刘孝书 (97 )男，南商丘人，授， 15一，河教主要从事函数论的教学与研究

多元函数可微的充分必要条件

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井冈山学院学报 (自然科学 )

第3 O卷第 8期

又

O X￣) J y )D( ) l - 0+ (= p ( B

充分性因￣ (,)点P (o o沿任一方向 l O xy在 f 0,) Y

故 fxy-(0 ),o (,) x, y) f y ,o O( ) y) P。= 充分性因为A(o od(o o存在， x, ) y, ) Y y且 fxy- 0, (,ot(o o= p (,),)fxy)厂， )0( )= ) Y又 fxy-(O )<,o X,0 <,) X, fxy) O,= f y )),

的方向导数关于方向e foO,o0 J致收敛，= cs cs2一 即

对于于Vs 0] 0当lf,>, 6>, <8对于任意方向e P -{oO,O}有 cs1CS,

y )

, ),o y— y) o

, )‰,) y o y

,0= y) 】

l }

(c -PO} P foSI 0 0,)O< ) (C2 8

fxy fx,0【( Y)XX) ( Y)) ) (,)<o ) 7‰,o(-o‰, (_,+ y一： o,oO￣ X) J y y) l - 0+ (— 0 ( 3]其中当( y— oy),l3,,, ) (,o时 O[-0 ,-故 f x y f x,o ( Y)X X) (, ) (o )‰, (- o y o O p+a x x)[ y y) O( ) ( )[ (-o+ (- o] o。 3= ,0= y)

上式两边同乘以P并根据 ( )可得， 2式

P尸) (0 (oZyl印 ) 0 P) △ P)X<于是，,) , ),= ()是较p、当 Y≠ y时 e O p, o p .的高阶无穷小，以，所函微。故此定理成立。 ,) y在点P ( )可 0,点

由二元函数在一点可微的定义知，函数厂，) (Y 在尸 (oy) 0,o点可微。证毕。

2主要结论的推广定理 3定理 l的推广 )设函数 zf x,:…, (=( z, x)点 ( o

在 加…, ),‰的邻域内有定义，函则

注： fxY在某点 (O o的两个偏导数均为 N (,) X, ) Y 零时，则，) (oy) O( ) y- x,= p。 f o定理 2设函 (, ) Y在点 e ( y) o,o的邻域内有定义，函则，) )在点P ( Y), o粕，o可微的充分必要条件是，),在点e (oY), o,o沿任一方向 Z 的方向 导数存在，且极限(0 l 尸) i=m ( 0cs P )。 ( 0。 ( ) P) s c 1

数 zf x,2…,n在点 (1 0…,加可微的充 -(1, x) 0 2, ),分必要条件是，数 zf(:…,在点 P (,函 - x,, ) o ∞…,加的个偏导数都存在，, )且

fx,,, ) (1x,,nfx,,,,) (la… x fx,… x) (l x… x - x o 02 3 n…

fx,2…, l n fx0 2…,加= p (1, ,0 (l 0 )O() ),,

(中 0,2别为平面向量 Z其 0分与、正方向的夹 Y轴

其中(l 2…,∈U, ,, ) P:/一 l 2 2…+戈一加。 x ( 1 0+X- 0+ ) X) ( )

角， X— - o=(- o￣)于方向 f P=/ X X)— y)关 (+y一致收敛。即

对于Vs 0了6>, l,>, 0当I<6对于任意的方向e P:{oO,o0, es 1 s2}有 c

定理 4(理 2的推广 )设函数z (定

,,…

)点 (。,,加的邻域内有定义，在。∞… ),函数 =

{证明必要性

(c Pu P -o卟 0 f) ),c神 (s设 p xY为 Z (,)上任一点，是于

f x,2…,在点P (l 0…,∞可微的充分必 (l, ) o 0 2,, )要条件是： t:…,在点P (,∞…,柏沿，, ) o , )

f x Ax p oO X o= s1 -= e

,、, '

任一方向 f的方向导数存在，且极限( 0:i尸)l m, c s ( oO )+ () 1

1△, s ), )p。== c由假设函g (,) V x在点 P(, ) o o点可微， 则有P ) ) ( ) △ ( oAy O( ) P )+ p

(oc s￣… ( ocs

P )oO P oO+

(中0,2…,为平面向量 z其 0, 与，,,正方 …轴向的夹角，、 (1 l …… 此处隐藏：4798字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……