江苏省2019高考数学二轮复习专题二立体几何2.2大题考法_平行与垂

1 平行与垂直

A 组——大题保分练

1.如图，在三棱锥V ­ABC 中，O ，M 分别为AB ，VA 的中点，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 是边长为2的等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC .

(1)求证：VB ∥平面MOC ；

(2)求线段VC 的长．

解：(1)证明：因为点O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以MO ∥VB . 又MO ?平面MOC ，VB ?平面MOC ，

所以VB ∥平面MOC .

(2)因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，AC ⊥BC ，AB ＝2，所以OC ⊥AB ，且CO ＝1.

连结VO ，因为△VAB 是边长为2的等边三角形，所以VO ＝ 3.又平面VAB ⊥平面ABC ，OC ⊥AB ，平面VAB ∩平面ABC ＝AB ，OC ?平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB ，所以OC ⊥VO ，

所以VC ＝OC 2＋VO 2＝2.

2．(2018·南通二调)如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E .

求证：(1)DE ∥平面B 1BCC 1；

(2)平面A 1BC ⊥平面A 1ACC 1.

证明：(1)在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，四边形A 1ACC 1为平行四边形． 又E 为A 1C 与AC 1的交点， 所以E 为A 1C 的中点.

同理，D 为A 1B 的中点，所以DE ∥BC .

又BC ?平面B 1BCC 1，DE ?平面B 1BCC 1，

所以DE ∥平面B 1BCC 1.

(2)在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，

又BC ?平面ABC ，所以AA 1⊥BC .

又AC ⊥BC ，AC ∩AA 1＝A ，AC ?平面A 1ACC 1，AA 1?平面A 1ACC 1，所以BC ⊥平面A 1ACC 1. 因为BC ?平面A 1BC ，所以平面A 1BC ⊥平面A 1ACC 1.

3.如图，在三棱锥A ­BCD 中，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD

2 ∥平面AEF .

(1)求证：EF ∥平面ABD ；

(2)若BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD . 证明：(1)因为BD ∥平面AEF ，

BD ?平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，

所以 BD ∥EF .

因为BD ?平面ABD ，EF ?平面ABD ，

所以 EF ∥平面ABD .

(2)因为AE ⊥平面BCD ，CD ?平面BCD ，

所以AE ⊥CD .

因为BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以 CD ⊥EF ，

又AE ∩EF ＝E ，AE ?平面AEF ，EF ?平面AEF ，

所以CD ⊥平面AEF .

又CD ?平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD .

4．(2018·无锡期末)如图，ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝2AF .

求证：(1)AC ⊥平面BDE ；

(2)AC ∥平面BEF .

证明：(1)因为DE ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ，所以DE ⊥AC . 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，

因为DE ?平面BDE ，BD ?平面BDE ，且DE ∩BD ＝D ，

所以AC ⊥平面BDE .

(2)设AC ∩BD ＝O ，取BE 中点G ，连结FG ，OG ，

易知OG ∥DE 且OG ＝12

DE . 因为AF ∥DE ，DE ＝2AF ，

所以AF ∥OG 且AF ＝OG ，

从而四边形AFGO 是平行四边形，所以FG ∥AO .

因为FG ?平面BEF ，AO ?平面BEF ，

所以AO ∥平面BEF ，即AC ∥平面BEF .

3 B 组——大题增分练

1．(2018·盐城三模)在直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是

菱形，M ，N 分别是棱A 1D 1，D 1C 1的中点．

求证：(1)AC ∥平面DMN ；

(2)平面DMN ⊥平面BB 1D 1D .

证明：(1)连结A 1C 1，在四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，因为AA 1綊BB 1，BB 1

綊CC 1，所以AA 1綊CC 1，所以A 1ACC 1为平行四边形，所以A 1C 1∥AC .又M ，N 分别是棱A 1D 1，D 1C 1的中点，所以MN ∥A 1C 1，所以AC ∥MN .又AC ?平面DMN ，MN ?平面

DMN ，所以AC ∥平面DMN .

(2)因为四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，

所以DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而MN ?平面A 1B 1C 1D 1，

所以MN ⊥DD 1.

又因为棱柱的底面ABCD 是菱形，所以底面A 1B 1C 1D 1也是菱形，

所以A 1C 1⊥B 1D 1，而MN ∥A 1C 1，所以MN ⊥B 1D 1.

又MN ⊥DD 1，DD 1?平面BB 1D 1D ，B 1D 1?平面BB 1D 1D ，且DD 1∩B 1D 1＝D 1，

所以MN ⊥平面BB 1D 1D .

而MN ?平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BB 1D 1D .

2.如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，

AB ＝BC ＝1，DC ＝2，点E 在PB 上．

(1)求证：平面AEC ⊥平面PAD ；

(2)当PD ∥平面AEC 时，求PE ∶EB 的值．

解：(1)证明：在平面ABCD 中，过A 作AF ⊥DC 于F ，则CF ＝DF

＝AF ＝1，

∴∠DAC ＝∠DAF ＋∠FAC ＝45°＋45°＝90°，即AC ⊥DA .

又PA ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ，∴AC ⊥PA .

∵PA ?平面PAD ，AD ?平面PAD ，且PA ∩AD ＝A ，

∴AC ⊥平面PAD .

又AC ?平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面PAD .

(2)连结BD 交AC 于O ，连结EO .

∵PD ∥平面AEC ，PD ?平面PBD ，平面PBD ∩平面AEC ＝EO ，∴PD ∥EO ， 则PE ∶EB ＝DO ∶OB .

又△DOC ∽△BOA ，∴DO ∶OB ＝DC ∶AB ＝2∶1，

∴PE ∶EB 的值为2.

3.(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)如图，

4 在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，已知AB ＝AC ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上(均异于端点)，且∠ABE ＝∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1.

求证：(1)平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；

(2)BC ∥平面AEF .

证明：(1)在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，BB 1∥CC 1.

因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1.

又AE ⊥BB 1，AE ∩AF ＝A ，AE ?平面AEF ，AF ?平面AEF ， 所以BB 1⊥平面AEF .

又因为BB 1?平面BB 1C 1C ，

所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C .

(2)因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE ＝∠ACF ，AB ＝AC ，

所以Rt △AEB ≌Rt △AFC .

所以BE ＝CF .

又BE ∥CF ，所以四边形BEFC 是平行四边形．

从而BC ∥EF .

又BC ?平面AEF ，EF ?平面AEF ，

所以BC ∥平面AEF .

4．(2018·常州期末)如图，四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PC ⊥平面ABCD ，PB ＝PD ，点Q 是棱PC 上异于P ，C 的一点．

(1)求证：BD ⊥AC ；

(2)过点Q 和AD 的平面截四棱锥得到截面ADQF (点F 在棱PB 上)，求证：QF ∥BC .

证明：(1)因为PC ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，所以BD ⊥PC . 记AC ，BD 交于点O ，连结OP .

因为平行四边形对角线互相平分，则O 为BD 的中点．

在△PBD 中，PB ＝PD ，所以BD ⊥OP .

又PC ∩OP ＝P ，PC ?平面PAC ，OP ?平面PAC .

所以BD ⊥平面PAC ，

又AC ?平面PAC ，所以BD ⊥AC .

(2)因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC .

又AD ?平面PBC ，BC ?平面PBC ，

所以AD ∥平面PBC .

又AD ?平面ADQF ，平面ADQF ∩平面PBC ＝QF ，

所以AD ∥QF ，所以QF ∥BC .

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