抛物方程有限差分-2

衡量一个差分格式是否经济实用，主要有

1. 计算简单 2. 收敛性和收敛速度3. 稳定性

第二节 稳定性与收敛性2.1 稳定性概念上节前三种差分格式均为二层差分格式，可表为：

AU k 1 BU k Fk 其中 U k (u1k , u2 , k T , uN ) 2 .

假设 A 可逆，令 C A 1B,则

U k 1 CU k A 1F .

(1) 向前差分格式

A I , B (1 2r ) I Rs, C B其中

0 1 S 0 0 (2) 向后差分格式

1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1 0

A (1 2r ) I rS , B I , C A 1.

(3) 六点对称格式

r A (1 2r ) I S , B (1 r ) I , C A 1B. 2对于三层或多层格式，可适当引新变量化成二层格式.

(4) Richardson格式

U k 1 2r (S 2I )U k U k 1 令 W k (U k ,U k 1 )T , W k 1 CW k , 2r ( S 2I ) I 其中 C I 0

(5) 先考虑按初值稳定，此时 F 0.

U k 1 C( )U k

[C( )]k 1U 0

如果存在 0 0,常数 K 0 ,使得

|| U k 1 || K || U 0 ||对于一切 U 0 , 0 0 , 0 k T 成立，称差分 格式按初值稳定.

此处 || || 表示欧式空间 R N 1 中某一范数，一般取

U

2

hu 2 jJ 1

N 1

0 k T 显然差分格式按初值稳定 || C || K , 0 0 k

(6) 按右端稳定，此时 U 0 0. 如果存在 0 0 ,常数 K 0 ,有

|| U k 1 || K || F ||对于一切 U 0 , 0 0 , 0 k T 成立，称差分 格式按右端稳定，其中 U k 是如下方程的解

U k 1 C( )U k A 1F , U 0 0.

1 (7) 若 || A || K ,则由格式按初值稳定可推出它按右端

稳定，故今后稳定性只考虑初值稳定. 为检验按初值稳定，需检验

{ C k ( ) : 0 0 , 0 k T }一致有界.

2.2 判别稳定性的直接估计法命题2.1 (必要条件) 以 (C )表示矩阵 C ( ) 的谱半径， 则差分格式稳定的必要条件是存在与 无关的常数

使M

(C ) 1 M , ( (C ) 1 O( ))P roof . 差分格式若按初值稳定

(4.2.1)

|| C k || K , 0 0 , 0 k T .

而 (C ) || C ||所以 (C ) (C ) || C || K , 0 k k k k

T

, 0 0.

不妨设 K 1, 则

(C ) K K

1 k

T T

e

T

ln K

1 O( )

命题2.2 (充分条件) 若 C ( ) 是正规矩阵，则 (4.2.1) 也是差分格式稳定的充分条件.

证明 由于 C ( ) 是正规矩阵，所以 || C ( ) || (C ), 于是|| C k ( ) || || C( ) ||k k (C) (1 M ) k (1 M ) K .T

推论 若 S 是对称矩阵，C ( ) 是矩阵 S

的实系数有理函数：

C ( ) R(S ),则差分格式稳定的充要条件是

max R( js ) 1 M ,j

其中 js 是 S 的特征值. 注 0 1 S 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 时，其特征值为 0 1 0

js 2 cos j h, j 1, 2,

, N 1, h

1 . N

例1 分析向前差分格式的稳定性

解

j h 1 2r 2r cos j h 1 4r sin 2 为使 || C j || 1 M ,则 C 2 j h 1 M j 1 4r sin 1 M 2 于是当且仅当C j 2

由于 C (1 2r ) I rS ,所以

j h 4r sin 2 M , j 1,2,...N 1 2 1 即 4r 2, r . 2 1 1 故向前差分格式当 r 时稳定，当 r 时不稳定. 2 22

例2 分析向后差分格式的稳定性 解 由于 C [(1 2r ) I rS ] 1,所以 1 C [(1 2 r ) 2 r cos j h ] j

[1 2r (1 cos j h)] 1 1故对 r 0 ,向后差分格式均稳定(绝对稳定). 例3 考虑六点对称格式的稳定性

解 由于 C [(1 r ) I r S ] 1 [(1 r ) I r S ]2 22

所以

j h 1 2r sin 2 , j 1, 2, , N 1. C j 2 j h 1 2r sin 2 对 r 0 均有 || C j || 1 ,故六点对称格式绝对稳定.

例4 考虑Richardson格式的稳定性 解 由于

2r (S 2I ) I C , I 0

W ( 1, 2 )T 是相应的特征向量，即 设 是 C 的特征值，CW W

显然 2 0 ,于是

2 r (S 2I ) 2 2 2 2 ,从而

S 2 (2

2r

1 2 r

) 2 ,

可见 2

2r

1 2 r

是 S 的特征值，于是 满足

2 2r (2 ) 1 0, ( 2cos j h) j h 或 2 (8r sin 2 ) 1 0.2又由于

j h N 1 1 2 1 max sin sin( ) sin( ) j 2 2 N 2 2 2 2 j j 于是有 max( | 1 | , | 2 | )j

max 4r sin 2j

j h j h 16r 2 sin 4 1 r 1 r 2 2 2

1 r

( r 0)

所以Richardson格式绝对不稳定.

2.3

收敛性和误差分析考虑热传导方程的初边值问题

u 2u a 2 f ( x), 0 x l , 0 t T . Lu t x u ( x, 0) ( x), u (0, t ) u (l , t ) 0. 相应的差分格式记为k L u h j f j , j 1, 2, , N 1; k 0,1, 0 k k u , u u j 0 N 0. j

, M 1.

其矩阵形式为

U k 1 C( )U k A 1F

差分逼近的截断误差k Rk ( u ) L u ( x , t ) [ Lu ] j h j k j

若

lim || R k || 0, 0

称差分算子 Lh 是初边值问题的相容逼近. 定理2.1 若差分方程满足相容条件，且按初值稳定，则 差分解收敛到热传导方程的解，且有误差估计式为k

E

K sup R kk

k 其中 E k , R k是分别以 ek 为分量的向量. , R j j

1 推论 当网比 r 时，向前差分格式的解有收敛阶 2 O( h2 ) ;对任何网比 r 0,向后差分格式的解有收敛阶 O( h2 ) ,六点对称格式的解有收敛阶

O( 2 h2 ).

第三节

Fourier方法

本节讨论常系数线性非驻定方程的纯边值问题和带 周期边值条件的混合问题的差分逼近. Fourier方法： 利用 Fourier 积分和 Fourier 级数将差分方程中的空 间变量和时间变量分离，从而将差分方程的稳定性归结 为有限阶矩阵族的一致有界性.

考虑线性常系数一维抛物型方程，具有初值和周期 ( 周期为1 ) 的边值条件，逼近它的二层差分方程的 一般形式为：k 1 a u m j m k b u m j m ,

j 0,1,

, N 1. (4.3.1)

m N1

m N0

其中 N0 , N1 是包含 0 及其邻近的正负整数的有限集 合， am 和 bm 不依赖 j 但和 有关.