人教版九年级数学下二次函数最全的中考二次函数知识点总结

人教版九年级数学下二次函数最全的中考知识点总结

相关概念及定义

二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c（a，b，c是常数，a 0）

的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 二次函数y ax2 bx c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是

2．

⑵ a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二次函数各种形式之间的变换

二次函数y ax2 bx c用配方法可化成：y a x h 2 k的形式，其

中h

b2a，k

4ac b4a

2

.

二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y ax2；②y ax2 k；③y a x h 2；④y a x h 2 k；⑤y ax2 bx c.

二次函数解析式的表示方法

一般式：y ax2 bx c（a，b，c为常数，a 0）； 顶点式：y a(x h)2 k（a，h，k为常数，a 0）；

两根式：y a(x x1)(x x2)（a 0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐

标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的

二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

二次函数y ax2 bx c图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2 bx c化为顶点式

2

y a(x h) k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点 0，c 、以及 0，c 关于对称轴对称的点 2h，c 、与x轴的交点 x1，0 ，

x2，0 （若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，

与y轴的交点. 二次函数y ax2的性质

y ax2 c

y a x h

y a x h

2

k

的性质

抛物线y ax bx c的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

a的符号决定抛物线的开口方向：当a 0时，开口向上；当a 0时，

开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

2

对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作x

直线x 0.

4ac b

顶点坐标： （ ）

2a4a

b

2

b2a

.特别地，y轴记作

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，

那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

抛物线y ax2 bx c中，a,b,c与函数图像的关系 二次项系数a

二次函数y ax2 bx c中，a作为二次项系数，显然a 0．

⑴ 当a 0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

⑵ 当a 0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a

的大小决定开口的大小．

一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a 0的前提下，

当b 0时， 当b 0时， 当b 0时，

b2ab2ab2ab2ab2ab2a

0 0 0

，即抛物线的对称轴在y轴左侧； ，即抛物线的对称轴就是y轴； ，即抛物线对称轴在y轴的右侧．

⑵ 在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b 0时， 当b 0时， 当b 0时，

0 0 0

，即抛物线的对称轴在y轴右侧； ，即抛物线的对称轴就是y轴； ，即抛物线对称轴在y轴的左侧．

总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置． 总结：

常数项c

⑴ 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；

⑶ 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵

坐标为负．

总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 求抛物线的顶点、对称轴的方法

公式法：y ax

b

2

2

b 4ac b

bx c a x

2a 4a

2

2

，∴顶点是

b4ac b

，对称轴是直线x . （ ）

2a2a4a

配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y a x h 2 k的形

式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x h.

运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以

对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 用待定系数法求二次函数的解析式

一般式：y ax2 bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择

一般式.

顶点式：y a x h 2 k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：

y a x x1 x x2 .

直线与抛物线的交点

y轴与抛物线y ax2 bx c得交点为(0, c).

与y轴平行的直线x h与抛物线y ax2 bx c有且只有一个交点(h,ah2 bh c).

抛物线与x轴的交点:二次函数y ax2 bx c的图像与x轴的两个交点

的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2 bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点 0 抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上） 0 抛物线与x轴相切； ③没有交点 0 抛物线与x轴相离.

平行于x轴的直线与抛物线的交点

可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标

相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2 bx c k的两个实数根.

一次函数y kx n k 0 的图像l与二次函数y ax2 bx c a 0 的

y kx n

图像G的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程2

y ax bx c

组有两组不同的解时 l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时 l

与G只有一个交点；③方程组无解时 l与G没有交点. 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax2 bx c与x轴两交点

2

0 ，B x2，0 ，由于x1、x2是方程ax bx c 0的两个根，故 为A x1，

x1 x2

ba

,x1 x2

2

ca

2

AB x1 x2

x1 x2 x1 x2 4x1x2

2

4c b

aa

b 4aca

2

a

二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或

顶点式表达

关于x轴对称

2

y a2x bx 关于cx轴对称后，得到的解析式是y ax bx c；

22

y a x h k关于x轴对称后，得到的解析式是y a x h k； 关于y轴对称

2

y a2x bx 关于cy轴对称后，得到的解析式是y ax bx c；

y a x h k

2

关于y轴对称后，得到的解析式是y a x h

2

k

；

关于原点对称

2

y a2x bx 关于原点对称后，得到的解析式是cy ax bx c；

y a x