2014届高考数学(文)二轮复习专题突破讲义专题五 解析几何 第2讲(2)

中的定值是标准方程的基础．

2． 椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2＋By2＝1，其中A、B是不等的常数，A>B>0

时，表示焦点在y轴上的椭圆；B>A>0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB<0时表示双曲线．

c

3． 求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a，c，计算e＝；方法二：根据

a

c

已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求.

a

4． 通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通

2b2

径长为2p，过抛物线焦点的弦中通

a径最短．

椭圆上点到焦点的最长距离为a＋c，最短距离为a－c. 5． 抛物线焦点弦性质：

已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)、B(x2，y2)． p2

(1)y1y2＝－p，x1x2＝；

4

2

2p

(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝α为弦AB的倾斜角)；

sinα

p2

(3)S△AOB＝

2sin α112(4)＋ |FA||FB|p

(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切

.

xy

1． 已知点F是双曲线1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F

ab

且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 A．(1，＋∞) C．(1,1＋2) 答案 B

解析 由AB⊥x轴，可知△ABE为等腰三角形，又△ABE是锐角三角形，所以∠AEBb2

为锐角，即∠AEF<45°，于是|AF|<|EF|，a＋c，于是c2－a2<a2＋ac，即e2－e－2<0，

a解得－1<e<2.又双曲线的离心率e>1，从而1<e<2.

x2y21

2． 设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个

ab2

实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2) A．必在圆x2＋y2＝2内 C．必在圆x2＋y2＝2外 答案 A

bc解析 ∵x1＋x2＝－，x1x2aa

2

b22cb＋2ac222

∴x1＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝＋＝. 2

2

( )

B．(1,2) D．(2,1＋2)

( )

B．必在圆x2＋y2＝2上 D．以上三种情形都有可能

aaa

c11∵e＝，∴c，

a221 232

∴b2＝a2－c2＝a2－ 2 ＝4a. 321

a＋2a×4272

∴x1＋x2＝<2. 2

a4∴P(x1，x2)在圆x2＋y2＝2内．

(推荐时间：70分钟)

一、选择题

1． (2013·课标全国Ⅱ)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以

MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为 A．y2＝4x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x 答案 C

p p

0，抛物线的准线方程为x＝－，则由抛物线的定义知，xM＝解析 由题意知：F 2 25y 5yp25

，所以圆的方程为 x－ 2＋ y－ 2＝，5，设以MF为直径的圆的圆心为 22 2 2 42p

5－，解得p＝2又因为圆过点(0,2)，所以yM＝4，又因为点M在C上，所以16＝2p 2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C. x2y2

2． 与椭圆＝1共焦点，离心率互为倒数的双曲线方程是

1216

x2

A．y－1

3

2

( )

B．y2＝2x或y2＝8x D．y2＝2x或y2＝16x

( )

y22

B.x＝1 33y23x2

D.1 48

3x23y2

－＝1 48答案 A

16－121x2y2

解析 椭圆＋1的离心率为＝，且焦点为(0，±2)，所以所求双曲线的

12162162

焦点为(0，±2)且离心率为2，所以c＝2＝2得a＝1，b2＝c2－a2＝3，故所求双曲线

ax2

方程是y－＝1.

3

2

3． (2013·江西)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于

点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于 A．2∶5 B．1∶2 C．1∶5 D．1∶3 答案 C

解析 由抛物线定义知M到F的距离等于M到准线l的距离MH. 即|FM|∶|MN|＝

|MH|∶|MN|

( )

＝|FO|∶|AF|＝15.

x2y2

4． 过双曲线1(a>0，b>0)的右焦点F，作圆x2＋y2＝a2的切线FM交y轴于点P，

ab

→→→

切圆于点M,2OM＝OF＋OP，则双曲线的离心率是 2 答案 A

解析 由已知条件知，点M为直三角形OFP斜边PF的中点，故OF2OM，即c＝2a2.

12x22

5． (2013·山东)抛物线C1：y＝x(p>0)的焦点与双曲线C2：y＝1的右焦点的连线交

2p3

C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p等于( ) 3

16

B.3

8

23 3

43D.

3

B.3

C．2

D.5

( )

答案 D

p

0，，双曲线C2的右焦点F′解析 抛物线C1的标准方程为x2＝2py，其焦点F为 23

为(2,0)，渐近线方程为y＝x.

3

1333p

由y′＝x＝xp，故M ，.

p336 33

由F、F′、M三点共线得p＝.

3

x2y2→→

6． 椭圆M1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且PF1·PF

ab

2,2

其中2的最大值的取值范围是[c3c]，

c－b，则椭圆M的离心率e的取值范围是

( )

11

A．]

42C．2

，1) 2

12B．]

221

D．1)

2

答案 B

解析 设P(x，y)，F1(－c,0)，F2(c,0)， →→

则PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－x，－y)， →→PF1·PF2＝x2＋y2－c2.

又x2＋y2可看作P(x，y)到原点的距离的平方， →→所以(x2＋y2)max＝a2，所以(PF2·PF2)max＝b2，

11

所以c2≤b2＝a2－c2≤3c2，即≤e2，

4212

e≤故选B.

22二、填空题

x2y2

7． (2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为5，则m的

mm＋4

值为________． 答案 2

解析 建立关于m的方程求解． ∵c2＝m＋m2＋4，

2

c2m＋m＋4∴e＝＝5，

am2

∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2.

x2y2

8． (2013·福建)椭圆Г：1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y

ab

＝3(x＋c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________． 答案

3－1

解析 由直线方程为y3(x＋c)， 知∠MF1F2＝60°， 又∠MF1F2＝2∠MF2F1， 所以∠MF2F1＝30°， MF1⊥MF2，

所以|MF1|＝c，|MF2|＝3c 所以|MF1|＋|MF2|＝c3c＝2a. c

即e＝3－1.

a

x2y2

9． (2013·辽宁)已知F为双曲线C－1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长

916

等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________． 答案 44

解析 由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5， ∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点， 且|PQ|＝|QA|＋|PA|＝4b＝16，

由双曲线定义，|PF|－|PA|＝6，|QF|－|QA|＝6. ∴|PF|＋|QF|＝12＋|PA|＋|QA|＝

28，

因此△PQF的周长为

|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.

x2y2

10．已知P为椭圆＋1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4

2516

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