7.4 多元复合函数与隐函数微分法

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一、链式法则 二、全微分形式不变性

三、隐函数微分法四、小结 思考题

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一、 多元复合函数微分法z 针对多元复合函数的求导法则： f [ ( x , y ), ( x , y )].

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【定理 7.5】 u ( x , y ) 及 v ( x , y )都在点( x , y ) 具有对 x 若 和 y 的偏导数，且 z f (u, v)在对应点(u,v)具有连续偏导数， 则复合函数 z f [ ( x , y ), ( x , y )]在对应点( x , y ) 的两个 偏导数存在，且可用下列公式计算 z z u z v z z u z v , x u x v x y u y v y

多元复合函数求导 的链式法则

u

z

链式图如右所示

v

x y x y机动 目录 上页 下页

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三种特殊情形：1. 【中间变量为一元函数】若 u (t ) 及 v (t ) 都在点 t 可导， z f (u, v)在对应点 ( u, v )具有连续偏导数，则复合函数 z f [ ( t ), ( t )]在 对应点 t 可导，且其导数可用下列公式计算： dz z du z dv . dt u dt v dt

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上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt

z

u

t t

dz 以上公式中的导数 称为全导数. dt

v机动 目录 上页

2. 情形II下页

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3.【中间变量既有一元又有多元函数的情形】[情形III] z f ( u, x , y ) 其中 u ( x , y ) 即 z f [ ( x , y ), x , y ], 变量关系为：

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ux y

z

x y区 别 类 似

z f u f , x u x x两者的区别

z f u f . y u y y把 z f ( u, x , y ) 中 的 u及 y 看作不变而 对 x的偏导数

把复合 函数 z f [ ( x , y ), x , y ] 中的 y 看作不变而对 x 的偏导数

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4.【多个中间变量且中间变量既有一元又有 多元函数的情形】如 z f ( u, v , w ), u ( x , y ), v ( x , y ), w w ( x , y ), 则 z z u z v z w , x u x v x w x z z u z v z w . y u y v y w y

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x

z

u v

yx

yx

w

y

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【例 1】 设 z e sin v ,而 u xy , v x y ,u

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z z 求 和 . x y

自画链式图

z z u z v 【解】 e u sin v y e u cos v 1 x u x v x e u ( y sinv cos v ) e xy [ y sin( x y ) cos( x y )],

z z u z v e u sin v x e u cos v 1 y u y v y e u ( x sinv cos v ) e xy [ x sin( x y ) cos( x y )].机动 目录 上页 下页

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【例 2】 设 z uv sin t ,而 u e t ,v

cos t ,

【解】

dz z du z dv z dt u dt v dt t

dz 求全导数 . dt

自画链式图

ve t u sin t cos t

e t cos t e t sin t cos t e t (cos t sin t ) cos t .

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例7.19, 例7.20,例7.21, 例7.22 例7.23,例7.25.

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二、全微分形式不变性设函数 z f ( u, v ) 具有连续偏导数，则有全微分

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z z dz du dv ; u v 当 u ( x , y ) 、v ( x , y )时，有

z z dz dx dy . x y z u z v z u z v dx dy u x v x u y v y

z z z u u z v v dx dy dx dy du dv . v u x y v x y u机动 目录 上页 下页

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1.【全微分形式不变性的实质】无论 z 是自变量 u、v 的函数或中间变量 u、v 的 函数，它的全微分形式是一样的.

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2.【全微分形式不变性的简单应用】 (1)利用全微分形式不变性，比较容易地得出全微分的 四则运算公式，d ( u v ) du dv , d ( u v ) udv vdu, u vdu udv d v v2 (v 0).

(2)利用全微分形式不变性及全微分的四则运算公 式，求函数的全微分会更简便些.机动 目录 上页 下页

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【例 4】已知 e

xy

z 和 2 z e 0,求 xz

z . y

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【注意】此为隐函数的偏导数的计算 【解】

d (e xy 2z e z ) 0, e xy d ( xy) 2dz e z dz 0,

(e z 2)dz e xy ( xdy ydx )

ye xe dz z dx z dy ( e 2) ( e 2) z xe xy z ye xy z , z . y e 2 x e 2机动 目录 上页 下页

xy

xy

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三、隐函数微分法

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1. F ( x, y ) 0【隐函数存在定理】 设方程 F ( x , y ) =0 确定隐函 数 y f ( x ) ,且函数 F ( x , y ) 存在连续的偏导数， 则当 Fy ( x, y) 0 时，有连续导数的函数 y f ( x ) , 它满足条件 y0 f ( x0 ),有隐函数求导公式 dy Fx . dx Fy隐函数的求导公式

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【例 1】

dy y 已知 ln x y arctan ,求 . x dx2 2

【方法】(1)公式法；(2)推导法(直接法：两边对x求导)y 【解】 令 F ( x , y ) ln x y arctan , x x y y x , Fy ( x , y ) 2 , 则 Fx ( x , y ) 2 2 2 x y x y2 2

dy Fx x y . y x dx Fy机动 目录 上页 下页

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2. F ( x , y , z ) 0【隐函数存在定理 2】设函数 F ( x , y , z ) 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数， 且 F ( x0 , y0 ,

z0 ) 0 , Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 ,则方程 F ( x , y , z ) 0 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内恒 能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函 数 z f ( x , y ) ,它满足条件 z0 f ( x0 , y0 ) , 并有

z Fx , x Fz

Fy z . y Fz

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例7.26 例7.27 例7.29

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四、小结1、链式法则(分三种情况) (特别要注意课中所讲的特殊情况) 2、全微分形式不变性 (理解其实质) 3、隐函数微分法

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