高中数学竞赛讲义9(2)

7．若a, b∈R+，则a+b=1，以下结论成立是__________.① a4+b4≥

；②

≤a3+b3<1；

③；④；⑤；⑥

8．已知0<<，若，则=____________.

9．已

知

q=(x1-a)2+(x2-a)2+ +(xn-a)2, 若

10．已知a>0, b>0且a

，p=(x1

-

)2+(x2

-)2+ +(xn

-)2,

，则比较大小：p___________q.

b, m=aabb, n=abba, 则比较大小：m_________n.

11．已知n∈N+，求证：

12．已知0<a<1，x2+y=0，求证：loga(ax+ay) ≤loga2+

.

13．已知x∈R，四、高考水平训练题

，求证：

1．已知A=asin2x+bcos2x, B=acos2x+bsin2x(a, b, x∈R)，设m=AB, n=ab, P=A2+B2, q=a2+b2，则下列结论成立的有]__________.（1）m≥n, p≥q;（2）m≤n, p≤q；（3）m+p≥n+q；（4）m+q≥n+p.

2．已知a, b, c, d∈R，M=4(a-b)(c-d), N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d)，则比较大小：M________N.

3

．若________.

R+

，且

，

，将从小到大排列为

4．已知△ABC的三边长a, b, c满足b+c≤2a, a+c≤2b，则的取值范围是________.

5．若实数x, y满足|x|+|y|≤1，则z=x2-xy+y2的最大值与最小值的和为________. 6．设函数f(x)=

(x∈[-4,2])，则f(x)的值域是________.

7．对x1>x2>0, 1>a>0，

记x1x2________y1y2.

，比较大小：

8．已知函数的值域是，则实数a的值为________.

9．设a≤b<c是直角△ABC 的三边长，若不等式最大值为________.

恒成立，则M

10．实系数方程x2+ax+2b=0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，则的取值范围是________.

11．已知a, b, c∈R+且满足 a+b+c≥abc

，求证：下列三个式子中至少有两个成立：

12．已知a, b∈R+且，求证：对一切n∈N+，(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1.

13．已知a, b, c ∈R+，求证：

14．设x, y, z是3个不全为零的实数，求五、联赛一试水平训练题

1．已知a1, a2, b1, b2, c1, c∈R，a1c1-小：P_______Q.

2．已知x2+y2-xy=1，则|x+y-3|+|x+y+2|=__________.

=a2c2

的最大值。

>0, P=(a1-a2)(c1-c2), Q=(b1-b2)2，比较大

3．二次函数f(x)=x2+ax+b，记M=max{|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|}，则M的最小值为__________. 4．设实数a, b, c, d满足a≤b≤c≤d或者a≥b≥c≥d，比较大小： 4(a+c+d)(a+b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).

5．已知xi∈R+, i=1, 2, ,n且n>1）.

，则x1x2 xn的最小值为__________（这里

6．已知x, y∈R, f(x, y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72的最小值为__________.

7．已知0≤ak≤1(k=1, 2, ,2n)，记a2n+1=a1, a2n+2=a2，则__________.

的最大值为

8．已知0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1，则的最大值为__________.

9．已知≤x≤5，求证：

10．对于不全相等的正整数a, b, c，求证：

11．已知ai>0(i=1, 2, , n)，且=1。又0<λ1≤λ2≤ ≤λn，求证：

≤

六、联赛二试水平训练题

1．设正实数x, y, z满足x+y+z=1，求证：x1+x2+ +xn>y1+y2+ +ym，求证：x1x2xn>y1y2 ym.

3．设f(x)=x2+a，记

2．设整数x1, x2, ,xn与y1, y2, , yn满足1<x1<x2< <xn<y1<y2< <ym,

f(x), fn(x)=f(fn-1(x))(n=2, 3, )，M={a∈R|对所有正整数n,

|fn(0)| ≤2}，求证：

。

4．给定正数λ和正整数n(n≥2)，求最小的正数M（λ），使得对于所有非负数x1, x2, ,xn ，

有M(λ)

5．已知x, y, z∈R+，求证：(xy+yz+zx)并求出等号成立的条件。

6．已知非负实数a, b, c满足a+b+c=1，求证：2≤(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≤(1+a)(1+b)(1+c)，