中国民航大学《概率论与数理统计》期末考试试题及答案B[1]

《概率论与数理统计》期末考试试题

一、填空题（每题3分，共15分）

1、已知随机变量X服从参数为2的泊松（Poisson）分布，且随机变量Z 2X 2，则E Z ____________．

2、设A、B是随机事件，P A 0.7，P A B 0.3，则P AB

3、设二维随机变量 X,Y 的分布列为

若X与Y相互独立，则 、 的值分别为 。

4、设 D X 4, D Y 1, R X,Y 0.6，则 D X Y

n15、设X1,X2, ,Xn是取自总体N( , )的样本，则统计量2 (Xi )2服从__________

2

i 1

分布.

二、选择题（每题3分，共15分）

1. 一盒产品中有a只正品，b只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 【 】 a(a 1)(A) a 1； (B) ； (C) a； (D) a . a b a b 1a b(a b)(a b 1)

2

2、设事件A与B互不相容，且P A 0，P B 0，则下面结论正确的是【 】

(C) P AB P A P B ; (D)P A P A .

(A) 与互不相容; (B)PBA 0;

3、设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从正态分布N 0,1 和N 1,1 ，则【 】 (A)P X Y 0

1

； (B) P X Y 1 21

(C)P X Y 0 ； (D)P X Y 1

2

1； 21。

2

4、 如果X,Y满足D(X Y) D X Y ，则必有【 】

（A）X与Y独立；（B）X与Y不相关；（C）DY 0；（D）DX 0

5、设相互独立的两个随机变量X与Y具有同一分布律，且X的分布律为 则随机变量Z max X,Y 的分布律为【 】

(A)P z 0

11

,P z 1 ； (B) P z 0 1,P z 1 0； 221331

(C) P z 0 ,P z 1 ；(D) P z 0 ,P z 1 。

4444

三、解答题（共30分）

1.（本题满分8分）两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求：任意取出的零件是合格品(A)的概率.

2.（本题满分8分）将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的次数，Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）P Y X .

3.（本题满分10分）设随机变量X~N 0,1 ，Y X 1，试求随机变量Y的密度函

2

数．

1 e2

① 求X的数学期望E(X)和方差D(X)；

四、（8分）设X的密度函数为f(x)

x

,x ( , )

② 求X与X的协方差和相关系数，并讨论X与X是否相关？

五、（本题满分8分）二维随机变量（X，Y）的概率密度为

Ae (x 2y),x 0,y 0

f(x,y)

0,其他

求：（1）系数A；（2）X，Y的边缘密度函数；（3）问X，Y是否独立。

六、（本题满分12分） 设总体X~N

2

， ，其中 是已知参数，

2

0是未知

参数． X1，X2， ，Xn 是从该总体中抽取的一个样本，

2； ⑴. 求未知参数 2的极大似然估计量

2是否为未知参数 2的无偏估计． ⑵. 判断

七、（本题满分8分）设总体X~N

, 2 ，其中且 与 2都未知， ，

2 0．现从总体X中抽取容量n 16的样本观测值 x1，x2， ，x16 ，算出1161162

xi 503.75，s x 6.2022，试在置信水平1 0.95下， i

16i 115i 1

求 的置信区间． （已知：t0.05 15 1.7531，t0.05 16 1.7459，t0.025 15 2.1315，． t0.025 16 2.1199）

八、（本题满分8分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg 且 强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取 25 件作强力试验，

算

得 取

和

0.01，

已知

， 问新产品的强力标准差是否有显著变化 ？

( 分别

，

）

《概率论与数理统计》期末考试试题参考答案

一、填空题：1、2；2、0.4；3．

21

, ；4、2.6；5、 2(n) 99

二、选择题：1、C；2、D；3、B；4、B；5、C

三、1.解：设Bi=“取出的零件由第 i 台加工”(i 1,2)

21

P A P B1 P AB1 P B2 P AB2 0.97 0.98 0.973

33

2.解：由题意知，X的可能取值为：0，1，2，3；Y的可能取值为：1，3. 且

13 1 1 1 1

P X 0,Y 3 ，P X 1,Y 1 C3 ，

88 2 2 2 1 1 1 3 1

P X 2,Y 1 C ，P X 3,Y 3 .

8 2 2 8 2

于是，（1）（X，Y

（2）P Y X P X 0,Y 3

8

3.解：随机变量X的密度函数为

23

2

3

32

f x

12

e

x22

x

设随机变量Y的分布函数为FY y ，则有

FY y P Y y PX 1 y PX y 1

2

2

①. 如果y 1 0，即y 1，则有FY y 0； ②. 如果y 1，则有 FY y PX y 1 P

2

22

y 1 X y 1

e

x22

12

y 1

y 1

e

x22

y 1

dx

dx

即FY

y

x22

dxy 1y 1

1

y2y 1所以， fy FY Y

y

0y 1

即 f y 12y 1Y

y ．

0y 1四、解： ① E(X)

x1 x

2dx 0

D(X) E(X2) [E(X)]2 x212e xdx 0 2 0x212

e xdx 2 ②Cov(X,X) E(XX) E(X)E(X)

xx

12

e x

dx 0 0 所以X与X不相关. 五、（本题满分10分）

解：（1）由1

f(x,y)dxdy 0

(x 2y)0

Ae dxdy

A

x

2y0e dx 0edy

1

2

A 所以A 2 （2）X的边缘密度函数：f

e x x 0

X(x)

f(x,y)dy

0,

其他Y的边缘密度函数：f

2e 2y y 0

Y(y) f(x,y)dx

0,

其他 （3）因f(x,y) fX(x)fY(y)，所以X，Y是独立的

六、解：⑴. 当 2

0为未知，而 为已知参数时，L 2

2 2

n

2

exp 1n2

2 2 xi

i 1 因而 lnL 2 n2ln 2 2

1n22 2

xi i 1

所以 2lnL 2

n1n212 2 2 xi 1 4 0

i解得 2

1n n x 2

i

i 1

因此， 2

的极大似然估计量为

2

1n n

Xi 2． i 1

⑵. 因为Xi~N ， 2

i 1

，2， ，n ， 似然函数为

所以

Xi

所以 E Xi 0，D Xi 2 i 1，2， ，n ，

所以E Xi E Xi DXi

2

~N 0，1 i 1，2， ，n ，

2

2

i 1，2， ，n

1n

E Xi 2 因此，E

ni 1

11n2

E Xi n 2 2

nni 1

1n2

Xi 2是未知参数 2的无偏估计 所以， …… 此处隐藏：1607字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……