2014届高考二轮不等式、函数、导数专题

2014届高考二轮不等式、函数、导数专题

热点重点难点专题透析· 数学(文科)

专题1

第一篇

知 识 专 题

【考情报告】

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专题1

【考向预测】 函数是整个高中数学的主线， 导数是研究函数性质的重要工 具，函数的单调性是函数最重要的性质之一，它与不等式联 系非常密切.在高考中，本部分内容主要考查函数的概念和 性质，基本初等函数的图像、性质、应用，导数的概念和应 用，不等式的性质、一元二次不等式、简单的线性规划、均 值不等式， 等等. 考查学生的抽象思维能力、 推理论证能力， 运算求解能力及数学应用意识.预测 2014 年江西高考关于 不等式、函数与导数，仍会以考查函数的图像与性质，利用 导数解决函数、方程、不等式的综合问题为热点，知识载体 主要是二次函数、三次函数、指数函数、对数函数及分

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专题1

式函数. 综合题的主要题型：(1)利用导数研究函数的单调性、 极值与最值问题或逆求参数的取值范围；(2)以函数为载体 的实际应用题，一般要先建立所求量的目标函数，再利用导 数进行求解；(3)不等式、函数与导数的综合问题；(4)函数 的创新或新定义类综合问题. 【问题引领】 1. 函数 y=a -2(a>0, 且 a≠1)的图像恒过定点 A,x+3

x y 若点 A 在直线 + =-1 上，且 m>0,n>0,则 3m+n 的最小 m n值为( ).

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专题1

A.13

B.16

C.11+6 2

D.28

【解析】 函数 y=ax+3-2(a>0, 且 a≠1)恒过定点(-3, x y 3 1 -1),又因为点 A 在直线 + =-1 上，所以 + =1,所

m n

m n

3 1 3m 3n 以 3m+n=(3m+n)( + )=10+ + ≥10+2

m n

n

m

3m 3n ·

n

m

=16,所以 3m+n 的最小值为 16. 【答案】B

x+2y≥0, 2.设 z=x+y,其中实数 x,y 满足 x-y≤0, 若 z 0≤y≤k,

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专题1

的最大值为 6,则 z 的最小值为( A.-3 B.-2 C.-1 D.0

).

x+2y≥0, 【解析】由 z=x+y 得 y=-x+z,作出 x-y≤0, 的区 0≤y≤k 域 BCO 如图所示，平移直线 y=-x+z,由图像可知当直

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专题1

线经过 C 点时，直线的截距最大，此时 z = 6 ,由 y=x, x=3, 解得 所以 y=-x+6, y=3,

k=3,解得 B(-6,3),代

入 z=x+y 得最小值为 z=-6+3=-3. 【答案】A 3 3. 若函数 f(x)=loga(x -ax)(a>0, 且 a≠1)在区间(- 1 ,0)内单调递增，则 a 的取值范围是( ). 2 1 3 9 9 A.[ ,1) B.[ ,1) C.[ ,+∞) D.(- ,1) 4 4 4 4

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专题

1

【解析】设φ(x)=x -ax,当 a∈(0,1)时，依题意有 1 3 φ(x)=x -ax 在区间(- ,0)内单调递减且φ(x)=x3-ax 2 1 在(- ,0)上大于 0. 2 1 2 ∵φ′(x)=3x -a,∴φ′(x)≤0 在(- ,0)恒成立 2 1 2 a≥3x 在(- ,0)上恒成立. 2 1 3 3 2 ∵x∈(- ,0),∴3x ∈(0, ),∴a≥ ,此时φ(x)>0, 2 4 4

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专题1

3 ∴ ≤a<1. 4 1 当 a>1 时，φ(x)在区间(- ,0)内单调递增，∴φ′ 2 1 2 (x)=3x -a 在(- ,0)上大于 0. 2 1 3 2 2 ∴a≤3x 在(- ,0)上恒成立.又∵3x ∈(0, ),∴a 2 4 ≤0 与 a>1 矛盾. 3 综上，a 的取值范围是[ ,1). 4 【答案】B

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专题1

4.过点 P(2,-2)且与曲线 y=3x-x 相切的直线方程 是________. 【解析】设点(a,b)是曲线上的任意一点，则有 b=3a -a3.导数 y′=3-3x2,则切线的斜率 k=3-3a2,所以切 线方程为 y-b=(3-3a2)(x-a),即 y=(3-3a2)x-a(3- 2 2 3 3 3a ) + b = (3 - 3a )x + 3a - 3a + 3a - a ,整理得 y = (3 - 2 3 2 3 3a )x+2a ,将点 P(2,-2)代入得-2=2(3-3a )+2a = 3 2 3 2 3 2 3 2a -6a +6,即 a -3a +4=0,即 a +1-3a +3=(a +1) -3(a2-1)=0,整理得(a+1)(a-2)2=0,解得 a=2 或 a =-1,代入切线方程得 y=-9x+16 或 y=-2. 【答案】y=-9x+16 或 y=-2

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5.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x+1)= 1 3 , 当 x∈[0, 1]时， f(x)=x+1,则 f( )=________. f(x) 2 【解析】∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x 1 +1)= ,∴f(x+2)=f(x),且 f(-x)=f(x),又当 f(x) 3 1 1 1 x∈[0,1]时，f(x)=x+1,∴f( )=f(- )=f( )= +1 2 2 2 2 3 = . 2 3 【答案】 2

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1 6.设函数 f(x)=(2-a)ln x+ +2ax.

x

(1)当 a=0 时，求 f(x)的极值； (2)当 a≠0 时，求 f(x)的单调区间. 【解析】(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 1 当 a=0 时，f(x)=2ln x+ ,

x

2 1 2x-1 ∴f′(x)= - 2= 2 .

x x

x

1 由 f′(x)=0, 得 x= .f(x), f′(x)随 x 变化如下表： 2

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1 1 x ( ,+∞) 2 2 f′(x) 0 + f(x) 极小值 1 由上表可知， f(x)极小值=f( )=2-2ln 2, 没有极大值. 2 2ax2+(2-a)x-1 (2)由题意，f′(x)= . 2

1 (0, ) 2 -

x

1 1 令 f′(x)=0,得 x1=- ,x2= . a 2 若 a>0,

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专题1

1 由 f′(x)≤0,得 x∈(0, ]; 2 1 由 f′(x)≥0,得 x∈[ ,+∞). 2 若 a<0, 1 1 1 1 ①当 a<-2 时， - < , x∈(0, - ]或 x∈[ , +∞), a 2 a 2 1 1 f′(x)≤0;x∈[- , ],f′(x)≥0. a 2 ②当 a

=-2 时，f′(x)≤0. 1 1 1 1 ③当-2<a<0 时，- > ,x∈(0, ]或 x∈[- ,+ a 2 2 a

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专题1

1 1 ∞),f′(x)≤0;x∈[ ,- ],f′(x)≥0. 2 a 1 综上，当 a>0 时，函数的单调递减区间为(0, ],单 2 1 调递增区间为[ ,+∞); 2 1 1 当 a<-2 时，函数的单调递减区间为(0,- ],[ , a 2 1 1 +∞),单调递增区间为[- , ]; a 2 当 a=-2 时，函数的单调递减区间是(0,+∞);

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1 1 当-2<a<0 时， 函数的单调递减区间为(0, ], [- , 2 a 1 1 +∞),单调递增区间为[ ,- ]. 2 a 【诊断参考】 1. 在利用基本不等式求最值时， 要特别注意 “拆、 拼、 凑”等技 …… 此处隐藏：3508字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……