三重积分在柱面及球坐标系下的计算

运用

本讲主要内容三重积分在柱面及球坐标系下的计算 三重积分在柱面及球坐标系下的计算 在柱面及球

(1)三重积分在柱坐标系下的计算； (2)三重积分在球坐标系下的计算； (3)举例 ；

2011-8-5

运用

4-2-1

柱面坐标系下三重积分的计算对应空间点P ( x, y , z )可用( ρ ,θ , z )表示.其中x, y与ρ ,θ之间关系为 :

1、柱面坐标 在直角坐标系中,当xoy面上点用极坐标表示时 、

z

x = ρ cos θ , y = ρ sin θ

,z = z

Pz

o

以z 当ρ = 常数： 轴为中心轴的圆柱面； x

θ

ρ P′

y

过z 当θ = 常数： 轴的半平面； 当z = 常数： 垂直于z轴的平面；

运用

2、体积元素 、

当用三族坐标面来划分 (V ) : ρ = ρ , ρ = ρ + dρ ;

z

z = z , z = z + dz;则体积元素

θ = θ , θ = θ + dθ ;

dv dz

o xdθ

ydρ

dv = ρdθdρdz(V )

∴ ∫∫∫

f ( x, y , z )dv = ∫∫∫(V ) f ( ρ cosθ , ρ sin θ , z ) ρdρdθdz.

运用

∫∫∫

(V )

f ( x, y, z )dv = ∫∫∫

(V )

f ( ρ cosθ , ρ sin θ , z ) ρdρdθdz.

3、化为累次积分 、

z 2 ( ρ ,θ )

设区域(V ) : 在xoy面投影域为(σ ) :(投影域用极坐标表示 )

z

z1 ( ρ ,θ )

z1 ( ρ ,θ ) ≤ z ≤ z 2 ( ρ ,θ ).

y

o则∫∫∫(V )

σ

f ( ρ cosθ , ρ sin θ , z ) ρdρdθdzz 2 ( ρ ,θ )1

( ρ ,θ )

x

= ∫∫ [ ∫z ( ρ ,θ ) (σ )

f ( ρ cosθ , ρ sin θ , z ) ρdz

]dρdθ

运用

例1 计算三重积分I = ∫∫∫ zdv,(V )

z

其中(V )由z = R 2 x 2 y 2 与 z = 0所围.解(V )向xoy面投影(σ xy )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π

y(σ xy )

x

此时0 ≤ z ≤ R 2 ρ 2 .

∴ I = ∫∫(σ ) [ ∫0xy

R2 ρ 2

zρdz ]dρdθ

= ∫ dθ ∫0

2π

R

0

1 2 1 4 2 ( R ρ ) ρdρ = πR . 2 4思考： 思考：是否可考虑用切片法来求解？

运用

例2 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,2 2 (V )

z

其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy0 ≤ θ ≤ 2π

h

此时, ρ 2 ≤ z ≤ h.

o

∴ I = ∫∫(σ ) [ ∫ρ ρ ρdz ]dρdθh 22

y(σ xy )

xy

x

= ∫ dθ ∫ ( ρ h ρ ) dρ3 5 0 0

2π

h

1 3 = πh . 6

思考： 思考： 本题是否也可考虑用切片法来求解？

运用

4-2-21、球面坐标 、

球面坐标系下三重积分的计算 z

在球面坐标系中, 空间点P ( x, y, z )用 ( ρ ,θ , )表示. 其中r = ρ sin ∴ x = r cos θ = ρ sin cos θ , y = r sin θ = ρ sin sin θ .

P

o xθ

ρ z

z = ρ cos

P′

r

y

其中0 ≤ ρ < +∞, 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ ≤ π .当ρ = 常数： 中心在原点的球面；当θ = 常数：过z轴的半平面；当 = 常数：顶点在原点，中心轴为z轴的圆锥面；

运用

2、体积元素 、

zdθ

当用三族坐标面去划分 (V ) : ρ = ρ , ρ = ρ + dρ ; ρ sin

dvdρ

θ = θ , θ = θ + dθ ; = , = +

d

o x

则体积元素dv : dv = ρ sin dθ ρd dρ

d

ρ

y

dv = ρ sin dθdρd 2

∴ ∫∫∫

(V )

f ( x, y , z )dv(V )

= ∫∫∫

f ( ρ sin cosθ , ρ sin sin θ , ρ cos ) ρ 2 sin dρdθd .

运用

3、化为累次积分 、

z ρ = ρ 2 (θ , ) ρ = ρ1 (θ , )

(1)用x = ρ sin cos θ , y = ρ sin sin θ , z = ρ cos

化被积函数为球坐标系 下形式ρ = ρ (θ , );(2)任取θ、 作一射线交 (V )于两点， x

o

y

即得单积分：(3)再对 、θ作积分.

∴ ∫∫∫

(V )

f ( x, y , z )dv = 2ρ 2 (θ , )1

∫θ

θ21

dθ ∫ d ∫ρ (θ , ) f ( ρ sin cosθ , ρ sin sin θ , ρ cos ) ρ 2 sin dρ 1

运用

例3 计算三重积分I = ∫∫∫ zdv,(V )

z

其中(V )由z = R 2 x 2 y 2 与 z = 0所围.分析 (V )为由半球面与xoy面所围, 故可用球面坐标,

θ

y

x

此时,0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ≤

π2R

,0 ≤ ρ ≤ R.

∴ I = ∫ dθ0

2π

∫

π /2

0

d ∫ ρcos ρ 2sin dρ0

1 4 = πR . 4

运用

例4 计算三重积分I = ∫∫∫(V ) ( x + y + z )dv,2 2 2

z

其中(V )由z = R 2 x 2 y 2 与 z = x 2 + y 2 所围.分析 (V )为由半球面与锥面所围,

故可用球面坐标,此时,0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ≤

π4

θ

y

,0 ≤ ρ ≤ R.

x

∴ I = ∫ dθ0

2π

∫

π /4

0

d

∫

R

0

ρ 2 ρ 2sin dρ

2 2 5 = πR . 5

运用

练习 试用三种坐标系分别计算三重积分

z

2

σz

I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.(V )

解法1 解法 直角坐标系(切片法)

(σ z ) : x + y ≤ 2 z z ; 0 ≤ z ≤ 2.2 2 2

1

∴ I = ∫ ∫∫ zdσ dz 0 (σ z ) 2

o x

y

= ∫ zσ z dz0

2

= ∫ zπ ( 2 z z )dz2 0

2

4π = . 3

运用

解法2 解法 柱面坐标系计算

∫∫∫ zdv(V )

z

2

x 2 + y 2 + ( z 1) 2 = 1xoy面上投影为(σ xy ) : x 2 + y 2 ≤ 1;

则z的范围 :1 1 ρ2 ≤ z ≤ 1+ 1 ρ2.

1

o x

yσ xy

∴ I = ∫ dθ ∫ dρ0 0

2π

1

∫

1+ 1 ρ 22

1 1 ρ

zρdz

1

= 2π ∫ ρ 2 1 ρ 2 dρ

1

4π = . 3

0

运用

解法3 解法 球面坐标系计算

∫∫∫ zdv(V )

z

2

x2 + y2 + z2 = 2z球面为 : ρ = 2 cos , 其中0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ≤

o

π2

,0 ≤ ρ ≤ 2 cos .

θρ cos ρ 2 sin dρ

y

∴ I = ∫ dθ ∫0

2π

π /2

0

d 5

∫

2 cos

x

= 2π ∫

π /2

0

4π . 4 cos sin d = 3

0