常微分方程教程(丁同仁、李承治第二版)第四章 奇解

常微分方程教程(丁同仁、李承治第二版)

第四章 奇解

习题4-1

1．求解下列微分方程：

(1).2y p2 4px 2x2,(p 解：y

p22

dydx

);

2px x2

dp

p pdp 2p 2x 2x

dp (p 2x)dp (p 2x) 0 (p 2x)( 1) 0.

a.p 2x 0 p 2x（特解） y 2x2 4x2 x2 x2(特解）b.dp 1 0

x2

2

dp 1 p x C y

( x C) 2( x C)x x2 y

2

Cx 12C（通解）

dy

dx

(2).y pxlnx (xp)2,(p (lnx 2xp)(xdp p) 0.

);

dp22解：p xlnxdp p(lnx 1) 2xp 2xpxa.lnx 2xp 0 lnx 2xp p ln2xxlnx2lnx y lnxlnx [x( 2x2x)] y 2

2

ln2x

4

x

ln42

b.xxdp p 0 p y Clnx C2

C

y

C2

xlnx (xC)

(3).2xp 2tany p3cos2y.解：x 1tany x qtany

cos2y2q2

p2cos2y

,令q

1

dx,

,

2cosy( siny)

2q

2

2

2

q tanydq qsecy 2 tanydqdy qtany

y

cos3

q

2

dq cosysiny

q

22

y

cos3

q

dqdy

0

cosydq

tany(dq qtany) (dy qtany) 0dyq3cosy (dq qtany)(tany q3) 0

2

a.dqdy qtany 0 b.tany

2

dq

dy

qtany q Ccosy x Csiny

3

cos3y2C2

cos2yq

0 q

2

2

q

cosy

ysin x

cosy

sintany

cos2t2

cosysin3y

y

33

sin3y 2siny 2siny

2．用参数法求解下列微分方程：

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2

(1)2y2 5(dy) 4dx

解：令y 由p

dy

2225cost,p sint

dy

25

25

sint,y 2cost,p

255

sint, x ,

a.当sint 0 dx y 2sint

d(2cost)

25

22sintdt

25

sint

dt x

dt C

( x C)] 2cos[( x C)]

b当sint 0 cost 1 y (2).x2 3(

dy2

) 1.dx

sht

et e tet e t

,cht ,sht

22

解：令x cht,p

dyshtshtshtsh2t

dy dx d(xht) dtdx333故

y

sh2t1

C

81

2t 2t(e e 2)d(2t) C

811t (sh2t ) C

24

22

(3).(dy) y x 0.dx

(e2t e 2t 4t) C

解：令x u,p v,y u2 v2,dy pdx2udu 2vdv vdu (2u v)du 2vdv

dv

du

2u v2v

uv

2

2 u

v2u齐次方程

令v t,u vt,

dv

t 1

2

2t 1

2t 1

tdv vdt

2dvv

dt

t vdv dt

vdv

2 2t2 t

2t 1

2t 12 2t2 t

dt

lnv

2t 1

C

2 2t2 t

2t 1

2dt C

2t t 2

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2t 112t

dt 2t2 t 2 2t2 t 2dt2t2 t 2

1dt12tdt 222(t 2(t 4) 164) 16

2

) 171d[(t 11dt1dt] 222171717

2(t 14 (t 12 (t 1

) ) )

11171dt

ln(t ) 217

24164(t 1

)

1dt1

2 17

4 (t 14) (t 4164

dt

4)(t 4

44

4

)

4

121

(

4 t 4 12ln|t 1 t

1

4

|

1t 4

)dt

t 117

故 2t2dt 22ln(t ) 16 t 2

2

4

2ln|

t 1 t

1

44

1

|.

v e

C

1

t 4

4

t 4 4

(

t 4 t 4

)2

121 121 21 12

C(t )(t )

4444

令 4

1

2

4, 4

144

11

4

,v C(t )

1

44

114

1

1

22

1

,

v C(t )(t )

u

C( )4

v

14

u

( )4v

C

(u v)v

1

44

1

(u v)v

1

44

1

11

4411

44 1

44

11

1

44

1

故

1

1 C(u v)

(u v)

1 44 1

(u v)

C(u v) C(u v) C(u v)

1 44 141 44

(u v)4(u v)

1 44

(u v) C(u v)

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y x2 p2

（通解）,

(x p) C(x p)特解：2 2t2 t 0 t y x2

1 u1 4

v u4v41 16162 2222

x x(1 ) x22

(1 )(1 )18 21 9 1 22 2a.y 18x 2x2

(1 )(9 )

x2

8 8x2

2 1 21

x2 1 x ax222 21

b.y 18x x 22

y 1

x,故 （特解）21

y x,dy3

(4).x (dy) 4x.

dydy332(dy) 4x x x(4 x).dxdxdx

令p

dy

dx

xt, x3t3 x2(4t x), xt3 4t x, x 1 t3

2

4t4t

dy xtd(1 ) 14 tt3d(1 ), y (1 8 t3t3t3)24t

x 1 , t3

故 （通解）821

y C, 1 t3(1 t3)2

21

1 t3

C

习题4-2

1． 利用p-判别式求下列微分方程的奇解：

dydy2

();dxdx

F(x,y,p) xp p2 y 0x2解： y

4x 2p 0 (1).y x而y

"

pp

xdpdp’

2 x为(1)的解，而Fp 2p 1|x2 1 0x|y y 4dydy44

'

2

py x

4

2

F 2 0,F

|

x2

x x 0,故y 为(1)的奇解。

4

dydy2

();dxdx

F(x,y,p) 2xp p2 y 0解： y x2不是(2)的解

2x 2p 0 (2).y 2x

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dy24) y;dx9

4

（ (y 1)2p2 y 0解： y 0为(3)的解 9

2

2(y 1)p 0(3).(y 1)2(Fp' 2(y 1)p2

"Fpp|y 0

44

0.99

2(y 1)2 2 0,Fp'| 0,

y 0

故y 0为(3)的奇解。

习题4-3

1．试求克莱洛方程的通解及其包络： y xp (p),(p 解：通解为y Cx (C),( C)

特解为x '(p),y '(p)p (p),p (x),y x (x) ( (x)).

判断y x (x) ( (x))是否为奇解。（是）

y Cx (C) 0,

x '(C) C (x) y x (x) ( (x))

x '(C) 0.

:x C,y y C (C) ( (C)), ；x '(C),y C '(C) (C)

dy

,1) (0,0).dx

故通解为y Cx (C),( C),特解为x '(p),y '(p)p (p), :x '(C).其中( "(C), '(C)) (0,0),( C < …… 此处隐藏：1477字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……