高数D2导数微分习题课09

同济版 高数PPT 例题 习题

习题课 导数与微分

第二章

一、 导数和微分的概念及应用 二、 导数和微分的求法

同济版 高数PPT 例题 习题

一、 导数和微分的概念及应用 导数 : 当 当 微分 : 关系 : 可导 可微 ( 思考 P125 题1 ) 时,为右导数 时,为左导数

同济版 高数PPT 例题 习题

应用 : (1) 利用导数定义解决的问题 1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则

(C)′ = 0; (ln x)′ = 1 ; (sin x)′ = cos x x其他求导公式都可由它们及求导法则推出; 2) 求分段函数在分界点处的导数 , 及某些特殊 函数在特殊点处的导数; 3) 由导数定义证明一些命题. (2)用导数定义求极限 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用

同济版 高数PPT 例题 习题

1.设 例1. f ′(x0 ) 存在,求

f (x0 + x + ( x)2 ) f (x0 ) lim . x→0 x解:

f (x0 + x + ( x)2 ) f (x0 ) x + ( x)2 原式= lim 2 x→0 x x + ( x)

= f ′(x0 )

同济版 高数PPT 例题 习题

f (sin x + cos x) . 例2.若 f (1) = 0 且 f ′(1) 存在 , 求 lim x x→0 (e 1 tan x ) f (sin2 x + cos x) 解: 原式 = lim x→0 x22

且 联想到凑导数的定义式

f (1+ sin x + cos x 1) f (1) sin2 x + cos x 1 = lim 2 x→0 sin x + cos x 1 x2 1 1 = f ′(1) (1 ) = f ′(1) 2 22

同济版 高数PPT 例题 习题

f (x) 在 x = 2 处连续,且 lim f (x) = 3, 3.设 例3. x→2 x 2 求 f ′(2) . lim f (x) = lim[(x 2) f (x) ] = 0 解: f (2) = x→2 x→2 (x 2)f (x) f (2) f ′(2) = lim x→2 x 2 f (x) = lim =3 x→2 x 2

思考 : P124 题3

同济版 高数PPT 例题 习题

4.设 例4. 试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求 解: f (x) =

ax + b , 1 (a+b +1 , ) 2x2 ,

x <1 x =1 x >1x >1时 f ′(x) = 2x. ,

x <1时 f ′(x) = a; ,

利 f (x)在 x =1处 导 得 用 可 ，

f (1 ) = f (1 ) = f (1)′ ′ f (1) = f+ (1)

+

即

a+ b =1= 1 (a + b +1) 2

a=2

同济版 高数PPT 例题 习题

f (x) =

ax + b , 1 (a+b +1 , ) 2x ,2

x <1 x =1 x >1

x <1时 f ′(x) = a, x >1时 f ′(x) = 2x , ,

∴ a = 2, b = 1,

f ′(1) = 2

2 , x ≤ 1 f ′(x) = 2x, x >1判别: 判别 是否为连续函数 ?

同济版 高数PPT 例题 习题

例5. 设 处的连续性及可导性. 解: 所以 又 在 处连续.

f ′(0) = 0即 在 处可导 .

同济版 高数PPT 例题 习题

二、 导数和微分的求法1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧 (1) 求分段函数的导数 界点处左右导数是否存在和相等 注意讨论界点 界点 (2) 隐函数求导法 (3) 参数方程求导法 (5) 高阶导数的求法 对数微分法转化

极坐标方程求导 逐次求导归纳 ;

(4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性) 利用莱布尼兹公式.

同济版 高数PPT 例题 习题

6.设 例6.

其中

可微 ,

解: dy = sin ex d(esin x )+ esin x d(sinex )

= sin ex esin x d(sin x) esin x cos ex d(ex ) +

= esin x (cos xsin ex + ex cos ex ) dx

同济版 高数PPT 例题 习题

例7. 选择 可使下述函数在2

且

存在, 问怎样 处有二阶导数.

ax + bx + c, x > 0 f (x) = g(x) , x ≤0

解: 由题设 f ′′(0) 存在, 因此 f (0+ ) = f (0 ) = f (0), 1) 利用 连续, 即 在

得 c = g(0)

′ ′ 2) 利用 f+ (0) = f (0), 而 g(x) g(0) ′ ′ f (0) = lim = g (0) x 0 x→0 2 (ax + bx + c) g(0) ′ f+ (0) = lim =b x 0 x→0+

得

同济版 高数PPT 例题 习题

ax + bx + c, x > 0 f (x) = g(x) , x ≤02

c = g(0)

′ b = g (0)

′ ′ 3) 利用 f ′(0) = f+′(0), 而′ g′(x) g (0) ′ ′′ f ′(0) = lim = g (0) x 0 x→0 (2ax + b) b ′ f+′(0) = lim = 2a + x 0 x→0 1 ′′ 得 a = g (0) 2

同济版 高数PPT 例题 习题

x = t 2 + 2t 8.设由方程 2 例8. t y +ε sin y =1 (0 < ε <1)确定函数 y = y(x), 求 解:方程组两边对 t 求导,得

dx = 2t + 2 dt dy dy +ε cos y 2t =0 dt dt故

dy dy t = dt d x = dx (t +1)(1 ε cos y) dt

dx = 2(t +1) dt dy 2t = d t 1 ε cos y

同济版 高数PPT 例题 习题

d( t d (dy) ) d y d t (t +1)(1 ε cos y) = d t dx = 2 dx dx 2(t +1) dt dy (1 ε cos y) ε t (t +1)sin y dt =2

2(t +1)3(1 ε cos y)2

=

(1 ε cos y)2 2ε t 2 (t +1)sin y 2(t +1)3(1 ε cos y)3

同济版 高数PPT 例题 习题

作业P125 2; 6(2) ; 7 ; 8 (4) ,(5) ;10 (2); 11; 12 (2) ; 13 ; 14 ;