一类含参变量的广义积分的计算

彳ｌ＝寅学院学报Ｊｏｕｎｍｌ

ｏｆＹｉｂｉｎ

Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

一类含参变量的广义积分的计算

谢敏玲

（无锡交通商等职业学校，江苏二ｊｉ己锡２１４０２８）

摘要：本文讨论一类舍参变量的广义积分计算问题，利用Ｆｏｕｒｉｅｒ变换和Ｌａｐｌａｃｅ变换的定义和性质，总结出计算该问题的一般方法，并举出了例子说明。

关键词：傅里叶变换；含参变量的广义积分；常微分方程；拉普拉斯变换中图分类号：０２４１．８３

文献标识码：Ａ

文章编号：１６７１—５３６５（２００８）１２—００３２—０３

近年来，有多位教师发表了一些涉及含参变量广义积分计算的文章．其结论基本都是利用积分变换的性质处理的，这些方法有很高的技巧性，能解决部分特定的含参变量的广义积分计算问题，但很难推广．本文讨论了一类含参变量广义积分计算的方法，想通过此方法探讨求解该问题的一般思路．

１问题的提出

定义１

假定以ｔ）是定义在（一∞，０］上的实值函数，如果对

ｔｏ

复参数ｓ（Ｒｅｓ＞０），积分，Ｊ（ｓ）＝ｌ八ｆ）ｅｓｔｄｔ存在，则称Ｆ，（ｓ）为函数以ｔ）在（一∞，Ｏ］上的Ｌａｐｌａｃｅ变换，记作￡一叭ｔ）］．

在该定义下，可给出函数以ｔ）在（一∞，０］上的Ｌａｐｌａｃｅ变换的性质．

性质１￡一Ｉｆ（ｔ）］＝ｔ［／Ｉ—ｔ）］

一。

本文旨在解决型如厂等铲幽（在址粉是偶函数）和ｒ絮学如（在地粉是奇函数）的广义积分

的计算，其中ｇ（Ⅲ）＝∞”＋Ｏ．ｎ－１（１Ｊ４—１＋Ｏ，ｎ＿２０）“一２＋…＋ａｌ∞＋Ⅱｏ．解决该问题的一般方法可用下面的图１表示：厂＝＝■］

证明Ｆ。（ｓ）＝￡一叭ｔ）］＝Ｊ八ｔ）ｅ“ｄｔ

一【以一Ⅱ）ｅ１”ｄｕ＝￡瞰一￡）］．

性质２如果Ｌ。１［Ｆ（ｓ）］＝以ｆ），则Ｌ－１［Ｆ（ｓ）］＝火一ｔ）

证明：由性质１得

定义２假定以ｔ）是定义在（一∞，０］上允许含有６（ｔ—ａ）及其导数的广义函数，如果对复参数ｓ（Ｒｅｓ＞０），积分Ｆ。（ｓ）＝

ｎ

今ｆ＝一Ⅱ，＋∞

Ｌ三；二一

．

ｈ（脚）Ｍｍｔｍ＊Ｆｍ

占（ｍＪ

７

占张ｔ氏逆变换

厂……

ｊ火ｔ）ｅ“ｄｔ对ｓ存在，则称Ｆ，（ｓ）为函数以ｆ）在（一∞，０］上的

……分性

、ｒ

Ｌａｐｌａｃｅ变换，记作己一叭ｔ）］．

性质３（微分性质）

设灭ｔ）在（一∞，０］上存在乃阶广义导

数／¨（ｔ），则

，∥们（ｔ）］＝ｓ＂Ｆ（ｔ）一ｓｎ－搬０．）＋ｓ”７’（ｏ一）＋

…＋（一１）”１扩”２’（０一）＋（一１）７”１’（０一）

如果函数存在广义傅立叶变换，则傅立叶变换的微分性可叙述为：

Ｆｏｕｒｉｅｒ变换微分性质＝ｉ“Ｆ‘８’（ｔ）

＋∞

ｆ

Ｈ”的拉氏变换（；（娜

ｌ

取拉氏变换关于Ｆ（ｔ）的线性微分方程

图１

需要指出的是函数ｇ（（Ｉ，）必须存在广义傅立叶变换．

２

函数八∞）和∞矾ｍ）存在广义傅立

预备知识

叶变换，且，叭ＯＪ）］＝Ｆ（ｔ），则Ｆｈ’（ｔ）存在，且有，［甜孤∞）］

一般函数ｆ（ｔ）（包括含６（ｔ—ａ）及其导数的函数）的Ｌａｐｌａｃｅ变换是定义在［ｏ，＋∞）上的，根据需要也可在（一∞，０］上定义Ｌａｐｌａｅｅ变换．下面给出区问（一∞，０］上的拉氏变换定义．

收稿日期：２００８—０７—２５

该命题把原傅立叶变换的微分性中的“ＪＩ（Ｉ，’以ｇ．Ｏ）Ｉ

ｄｘ＜

作者简介：谢敏玲（１９７１一），女，江苏无锡人，讲师，主要从事电类学科的教学研究。

万方数据　

２００８年１２月

埘敏玲：一类含参变帑的广义积分的计算

３３

∞”改为‘孤山）和∞’以ｍ）存在广义傅立叶变换”．

３应用

３．１

如果积分是型如“１”中所提及的标准性的含参变量的

广义积分，可直接按框图提示的解题步骤处理．

例１求含参变量的积盯．Ｉｏ。器如ｌ＋＾广

解令州＝ｒ器如

则，，㈤＝÷亡＃警如＝÷Ｃ—≥。“幽

＝÷，（击）－扣）．

（１）‘因为Ｅ（（Ｉ，２ ＿÷１）＝ｉ２ＧＪ，（ｆ）＝一Ｇ『，（ｔ）

（２）

自（１）（２）得Ｇ（ｆ）一∞）＝，（南）＋，（∞２ 丽１）

＝Ｅ（１）＝２１ｒ６（ｔ）

（３）把Ｇ（ｆ）＝２ｙ（ｔ）代入（３）得Ｙ（ｔ）一，（￡）＝们（ｔ）（４）

１０当ｔ＞０时，因为ｙ（ｆ）存在广义导数，令Ⅱ） （￡）］＝Ｆ（ｓ），

则￡［厂（ｆ）］＝ｓ２Ｆ（ｓ）一ｓｙ（Ｏ一）一），７（０一）．

（４）式两端求Ｌａｐｌａｃｅ变换得Ｆ（ｓ）一ｓ２Ｆ（ｓ）＋ｓｙ（Ｏ一）＋

＇，’（０．）＝７１＂．

所以Ｆ（ｓ）

＝———————：———————一ｓｙ（０一）＋ｙ’（Ｏ一）一仃

ｓ２—１

＝—。’—’———‘—————。——‘‘。。。。。‘’。——一

ｙ（ｏ一）＋ｙｌ（０一）一仃

２

ｙ（ｏ一）一，，’（Ｏ一）＋７ｒ

巾）＝盟半ｅＩ＋丛学ｅ～．

２

。一¨。一．一

由拉氏逆变换得

２０当ｔ＜０时，在（４）式的两边取拉氏变换￡一［，，（￡）］一Ｌ一［广（ｔ）］＝Ｌ一［丽（ｔ）］得Ｅ（ｓ）一ｓ２Ｆ１（ｓ）＋ｓｙ（Ｏ一）一，，’（Ｏ一）＝Ｑ

所以

州牡掣ｙ（ｏ一）一），７（０一）

１

如）＝掣ｅ－ｔ＋掣ｅ‘。

２

‘ｉ＋

２

ｓ＋１．

由拉氏逆变换得

又因为

ｙ（０＋）＿驯＝恕【盟半乌＋盟半也一‘】

万　

方数据：ｙ（０一）

而，，（ｏ）：上”订≥幽：詈，所以，（ｏ＋）＝，．（ｏ一）＝号．

又因为ｙ（￡）是偶函数，即，，（一ｔ）＝ｙ（ｔ），得

把），（ｏ一）＝詈和ｙ’（ｏ一）＝詈代人得

ｒ焉如《。‘：

３．２

如果无穷限广义积分中被积函数是Ｒ上的偶函数或奇

函数时，可以通过引进适当的参数ｌ，构造出型如“１”中的含参变

例２

求含参变量的积分ｆ”墅型如．

解令ｙ（￡）：ｒ而ｓｉｎ６０ｔ如

则ｙ（ｔ）：毒ｒ幽如

二ｄ—ｏ

∞

：÷广＿上枷如

＝÷，（÷）＝÷Ｇ（ｆ）．

上

∞Ｚ

（５）

因为，（∞．上）：ｉＧ，（ｆ），

而，（（Ｉ，．上）：，（１）：２们（￡）

（６）由（５）（６）得ｙ’（ｆ）＝们（￡）

（７）

１０当ｔ＞０时，（７）式两端求Ｌａｐｌａｃｅ变换得

嘏萨ｙ（ｏ．）＿ｆ砌矿址仃删牡鼍坚

由拉氏逆变换得ｙ（ｆ）＝ｙ（ｏ一）＋仉２０当ｔ＜０时，（７）式两端求Ｌａｐｌａｃｅ变换得

Ａ

Ｌ一［，，讹）］＝￡一［蕊（ｔ）］＝万Ｉ

５（￡）Ｐ“出＝ｏ，即

由拉氏逆变换得ｙ（￡）＝ｙ（ｏ一）．

船ｙ（ｔ）≠船ｙ（ｔ），而ｙ（ｏ）＝ｏ

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