太原理工大学 matlab课程设计 图像的傅里叶变换及其应用 doc

课程名称： MATLAB及在电子信息课程中的应用

实验名称： 图像的傅里叶变换及其应用

设计四 图像的傅里叶变换及其应用

一、设计目的

通过该设计，掌握傅里叶变换的定义及含义。

二、设计内容及主要的MATLAB函数

1、图像的离散傅里叶变换

假设f(m,n)是一个离散空间中的二维函数，则该函数的二维傅里叶变换定义为

f( 1, 2) f(m,n)e j 1me j 2n

其中 1和 2是频域变量，单位是弧度/采样单元。函数f( 1, 2)为函数f(m,n) 的频谱。

1

2

二维傅里叶反变换的定义为f(m,n)

f( ,

1

2

)ej 1mej 2nd 1d 2

因此，函数f(m,n)可以用无数个不同频率的复指数信号的和表示，在频率

( 1, 2)处复指数信号的幅度和相位为f( 1, 2)

MATLAB提供的快速傅里叶变换函数

1）fft2：用于计算二维快速傅里叶变换，其语法格式为

b=fft2(I)，返回图像I的二维傅里叶变换矩阵，输入图像I和输出图像B大小相同；

b=fft2(I,m,n),通过对图像I剪切或补零，按用户指定的点数计算二维傅里叶变换，返回矩阵B的大小为m n。

很多MATLAB图像显示函数无法显示复数图像，为了观察图像傅里叶变换后的结果，应对变换后的结果求模，方法是对变换结果使用abs函数。

2）fftn：用于计算n维快速傅里叶变换，其语法格式为

b=fftn(I)，计算图像的n维傅里叶变换，输出图像B和输入图像I大小相同； b=fftn(I, size)，通过对图像I剪切或补零，按size指定的点数计算n维傅里叶变换，返回矩阵B的大小为size。

3) fftshift：用于将变换后的图像频谱中心从矩阵的原点移到矩阵的中心，其语法格式为

b=fftshift(I)，将变换后的图像频谱中心从矩阵的原点移到矩阵的中心。

2、快速傅里叶变换的应用 1）滤波器频率响应

滤波器冲击响应的傅里叶变换就是该滤波器的频率响应

MATLAB提供的freqz2函数可以同时计算和显示滤波器的频率响应，其语法格式为

freqz2(h)，可同时计算和显示滤波器的频率响应。

2)快速卷积

傅里叶变换的另一个重要特性是能够实现快速卷积。由线性系统理论可知，两个系统卷积的傅里叶变换等于两个函数的傅里叶变换的乘积。该特性与快速傅里叶变换一起，可以快速计算函数的卷积。

假设A为M N矩阵，B为P Q矩阵，则快速计算卷积的方法如下

①对A和B补0，使其大小都为(M+P-1) （N+Q-1)；

②利用函数fft2对矩阵进行二维FFT变换；

③将两个FFT结果相乘，利用函数ifft2对得到的乘积进行傅里叶反变换 另外，利用MATLAB 提供的卷积函数conv2可以直接对两个函数进行卷积， 其语法格式为

C=conv2(A,B)，计算矩阵A和B的二维卷积。

三、总体方案设计

1、加载imdemos saturn2文件，显示文件中的图像saturn2, 并对其进行傅里叶变换，给出源程序及结果，并显示其幅值的结果。

2、对矩阵A=magic(3)和B=ones(3)按照快速计算卷积的方法计算两个矩阵的卷积，并用卷积函数conv2验证结果给出源程序及结果。

四、主要参数

load 加载文件命令

fft2 用于计算二维快速傅里叶变换

fftshift 用于将变换后的图像频谱中心从矩阵的原点移到矩阵的中心 imshow 显示图像命令 abs 求幅度命令

plot 是绘制二维图形的最基本函数 ifft2 傅里叶反变换 conv2 卷积函数

五、源程序

1、加载imdemos saturn2文件，显示文件中的图像saturn2, 并对其进行傅里叶变换，给出源程序及结果，并显示其幅值的结果。 源程序如下：

>> load imdemos saturn2 >> imshow (saturn2) >> a=fft2(saturn2); >> b=fftshift(a); >> c=abs(b);

>> imshow(log(c),[]) >> plot(c)

2、对矩阵A=magic(3)和B=ones(3)按照快速计算卷积的方法计算两个矩阵的卷积，并用卷积函数conv2验证结果给出源程序及结果。 源程序如下： >> A=magic(3); >> B=ones(3); >> A(5,5)=0; >> B(5,5)=0;

>> ifft2(fft2(A).*fft2(B)) >> A=magic(3); >> B=ones(3); >> conv2(A,B)

六、仿真结果

1、加载imdemos saturn2文件，显示文件中的图像saturn2, 并对其进行傅里叶变换，给出源程序及结果，并显示其幅值的结果。

>> load imdemos saturn2 >> imshow(saturn2)

a=fft2(saturn2); b=fftshift(a);

c=abs(b);

imshow(log(c),[])

>> plot(c)

2、对矩阵A=magic(3)和B=ones(3)按照快速计算卷积的方法计算两个矩阵的卷积，并用卷积函数conv2验证结果给出源程序及结果。

源程序如下：

方法一

>> A=magic(3) A =

8 1 6

3 5 7 4 9 2 >> B=ones(3) B =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 >> A(5,5)=0,B(5,5)=0 A =

8 1 6 0 0 3 5 7 0 0 4 9 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B =

1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> c=ifft2(fft2(A).*fft2(B)) c =

8.0000 9.0000 15.0000 7.0000 6.0000 11.0000 17.0000 30.0000 19.0000 13.0000 15.0000 30.0000 45.0000 30.0000 15.0000 7.0000 21.0000 30.0000 23.0000 9.0000 4.0000 13.0000 15.0000 11.0000 2.0000

方法二

A=magic(3),B=ones(3) A =

8 1 6 3 5 7 4 9 2 B =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 >> d=conv2(A,B) d =

8 9 15 7 6 11 17 30 19 13

15 30 45 30 15 7 21 30 23 9 4 13 15 11 2

七、设计总结