华南理工大学2012级高数下期末试题(有答案)

一、填空题（每小题4分，共20分）

x

1）设u ey，则2x2

）设xyz

u u y x y

。

dz

1,0,

1

dx。

3）

函数u lnx向的方向导数为

在点A 1,0,1 处沿点A 1,0,1 指向B 3, 2,2 方

12

。

4）设D为x2 y2 a2所围成的区域，则

22x y d D

2

a4

。

5）设L是抛物线y x2介于点 0,0 与点 1,1

之间的那一段弧，则曲线积分

L

1

112

。

x2y 42

二、（本题7分）证明函数f x,y x y

0

续，但存在一阶偏导数。

x,y 0,0 x,y 0,0

在点 0,0 处不连

x2y2

证明：1）因为limf x,y lim4，当时， y x

x 0x 0x y2y 0y 0x2y1

f 0,0 limf x,y lim4

x 0x 0x y22y 0y 0

所以f x,y 点 0,0 处不连续。 2）因为fx 0,0 lim

x 0

f 0 x,0 f 0,0

0

x

fy 0,0 lim

y 0

f 0,0 y f 0,0

0

y

所以f x,y 在点 0,0 存在一阶偏导数。

xz z z 2z

三、（本题7分）设 ln 0，求。 ,,

zy x y x y

11zz2 x1

解：因为dx dy 2 dz 0 dz dx dy

zyz x zyx z z zz zz2

所以 ,

xx z yyx z 2z

x y

z z x z z y y

xz2y x z

3

x z

2

四、（本题7分）计算二重积分

e

D

maxx2,y2

dxdy，其中D x,y 0 x 1,0 y 1 。

解：取D1为0 y 1,0 x y；D2为0 x 1,0 y x

e

D

maxx2,y2

dxdy eydxdy exdxdy dy eydx dx exdx

D1

D2

22

1y

2

1x

2

12

2 yedy 2 ey e 1

2 0

1

y2

1

五、（本题7分）设 为两球x2 y2 z2 R2,x2 y2 z2 2Rz的公共部分，计算三

重积分

2zdv。

R

R 2

解： 2zdxdydz R 2zdxdy dz 2zdxdy dz 0 2 x2 y2 R2 z2 x2 y2 2Rz z2

R2 z R z dz 2 z 2Rz z2 dz

2

2

2

R

224R342 Rz 2Rzz 5 4z 2 R

24R3412 0

2

R

R

20

x3

六、（本题8分）计算曲线积分 xy 3xe dx ysiny dy，其中L为沿摆线

3 L

2

x

x t sint

从O 0,0 到点A ,2 的弧段。

y 1 cost

x3

ysiny，因为 解：设P x,y xy 3xe,Q x,y 3

2

x

P Q

，所以此曲线积分与路径无关 x2

y x

原式

3 3 xxx

3xedx ysiny dy 3xe 3e y ycosy siny 00

3 3 0

2

2

3 1 e 3

23

2co s23

s in2

七、（本题8分）计算曲面积分

其中

是上半球面z

2x

3

xy2 dydz 2y3 yz2 dzdx 2z3 zx2 dxdy，

a 0 的上侧。

222

解：取曲面 1:z 0x y a并取下侧，利用高斯公式得

原式

5 x2 y2 z2 dv 2x3 xy2 dydz 2y3 yz2 dzdx 2z3 zx2 dxdy

1

5 d 2d 4sin d 2 a5。

2

a

八、（本题7分）求定解问题tanx

dy

2ecosx y 0,y dx

x

2

1的解。

解：方程化为y cotx y 2ecosx

cotxdx cosx cotxdx lnsinx

y e 2eedx C e

2e

cosxlnsinx

edx C

1

sinx

2sinxe

coxs

2ecoxs Cdx C

sinx

3 2ecosx

,y 1得C 3，所求特解为y 由x 。 2sinx

九、（本题7分）求微分方程y 4y e的通解。

解：1）求y 4y 0的通解，

解特征方程r 4r 0得，r1 0,r2 4， 其通解为y C1 C2e4x

*4x

2）因为 4单特征根，所以原方程有形如y axe的特解，

2

4x

代入原方程得

4a 1 a 原方程的通解为y C1 C2e

4x

1 4

14x

xe。 4

十、（本题7分）设函数f x 在区间 , 有连续导数，且满足

f t 2

2

x y t

x

2

2

2

y2 f

dxdy t4

求f x 。 解：f t 2

2

x y t

x

2

2

2

y2 f

3

3

dxdy t4

4

t

2

2

d rf r dr t 4 r3f r dr t4

t

两边关于t求导得：f t 4 tf t 4t f t 4 tf t 4t

3

3

3

f t e

4 t3dt

4t3e 4 t3dtdt C e t4

3 t

4tedt C

4

e

t4

1 t4 e C

1

，所以f t

由f 0 0得C

1 e t

4

。

（非化工类做）

十一、 （每小题5分，共15分）

1

）判别无穷级数

n 1

的敛散性。

解：因为

0，所以此级数是正项级数，又因为

1n0

dx 2

x 1

3 x2 2 3

3n2 2 0

1n

级数

n 1

23n

32

收敛，由比较判别法得级数

n 1

收敛。

2）求幂级数

3

n 1

1 2

n

n

xn

的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。 n

1

3n 1 2

解：1）先求收敛半径，因为lim

n 1

3n 2

n

n

1 2

1 n 1n3 1

limnn n 113 2

3 2 n 3

此幂级数收敛半径为3，收敛区间为 3,3 ， 当x 3时，

3

n 1

1 2

n

n

3n 2 2 1xn13n

nn

nn 13n 2 nnn 1n3 2

nn

n

1 1 2n

nn n 3 2 n 1n

因为

2n3n 2

nn

12 n nn3 2

2 2 2

，级数 3 3 收n

3 3 n 1 2 3

1 3

1

nnn

敛，由比较判别法级数此幂级数发散； 当x 3时，

3

n 1

2n 2

n

1

n

n

n

绝对收敛，由于

n发散，因此x 3是

n 1

1

3

n 1

1 2

n

n

3 3n 2 2 xn1

nnn 13n 2 nn3n 2 n 1

nnn

1

n

n

nn 1 n 1 21 n, …… 此处隐藏：1216字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……