北科大数理方程 第6章习题答案

2 试写出右半空间上的格林函数形式 解：右半空间区域上的格林函数满足 G ( r r0 ), G 0 x 0 y 0

在右半空间2

y 02

上取一点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ),2

令 r0 x 0 y 0 z 0 表示自原点到该点的距离， 并在该点放置一个单位正电荷，它所形成的静电场 在任何一点 M ( x , y , z ) 处的电位函数为1 4 rM0M

1 4

2

1 ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )2 2

并且 1 4 r M 0M ( x x 0 , y y 0 , z z 0 ) ( r r0 ) 1 满足方程 G ( r r0 ), 4 rM M0

即函数

但是它不是格林函数， 因为它在边界平面 上不为零。 设M 1 ( x1 , y 1 , z 1 )

y 0

为点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 关于平面

y 0

并在点 M 1 处放置一个单位负电荷， 的对称点，M ( x, y, z)

这样，该负电荷所形成的静电场在点

的电位为 1 4 rM1M

1 4

2

1 ( x x1 ) ( y y 1 ) ( z z 1 )2 2

并且 1 4 r M 1M ( x x1 , y y 1 , z z 1 ) ( r r1 ),

若x

0,

即当点M 位于平面yoz上，则有1 rM0M

1 rM1M

0.

说明这两个电荷所形成的电位在平面 y 上相互抵消。 令G (M 0 , M ) M

0

1 4 rM0M

1 4 rM1M

,

注意到点 G满足

1

位于半空间

y 0

之外，则函数

G ( r r0 ), G y 0 0

y 0

这说明G为所求之格林函数。

3 试写出第一卦限x>0, y>0,z>0的格林函数形式 解：第一卦限的格林函数满足x 0, y 0, z 0 G ( r r0 ), G y 0 0, G z 0 0, G x 0 0

在第一卦限上取一点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ),并在该点放置一个单位正电荷， 令M 1 ( x 0 , y 0 , z 0 ), M 3 ( x 0 , y 0 , z 0 ), M 5 ( x 0 , y 0 , z 0 ),

是M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 关于三个坐标平面xoy,zoy,xoz 对称的点，并且在这些点分别放置一个单位负电荷，

令M 7 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 是

M 0 ( x0 , y0 , z0 )

关于坐标原点对称的点,

并且在这个点放置一个单位负电荷. 令 M 2 ( x 0 , y 0 , z 0 ), M 4 ( x 0 , y 0 , z 0 ), M 6 ( x 0 , y 0 , z 0 ),

是M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 关于三个坐标轴ox,oy,oz 对称的点，并且在这些点分别放置一个单位正电荷. 则 第一卦限的格林函数为G 1 4 ( 1 rM 0M

1 rM2M

1 rM4M

1 rM6M

1 rM1M

1 rM3M

1 rM5M

1 rM7M

)

1 4 2

1 ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )2 2

1 4 2

1 ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )2 2

1 4 12

1 ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )2 2

1 4 2

1 ( x x0

) ( y y0 ) ( z z0 )2 2

1 ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )2 2 2

4

1 4 2

1 ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )2 2

1 4 2

1 ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )2 2

1 4 2

1 ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )2 2

2 试写出上半单位球域内的格林函数形式 解：上半单位球域内的格林函数满足 G ( r r0 ), G 0 , G r 1 0 , z 0 r 1

设球心在坐标原点, 在球域内上取一点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ),并在该点放置一个单位正电荷， 令 在 在M M0

r0

x0 y0 z02 2

2

1

关于球面的对称点 M 1处放置一个 r0 单位的负电荷, 关于平面z=0的对称点 M 0 处放置一个 单位负电荷,

0

在

M0

关于球面的对称点 M 1 处放置一个 r 单位的正电荷,0

1

则半球内的格林函数为 G G (M 0 , M ) G (M 0 , M ) 1 4 ( 1 rM0M

1

11M

)

1 4

(

1 rM M0

1

11

)

r0 rM

r0 rM M

7 试写出第一象限x>0, y>0的格林函数形式 解：第一象限的格林函数满足 G ( r r0 ), G x 0 0, G y 0 0, x 0, y 0

在第一象限上取一点

M 0 ( x 0 , y 0 ),

并在该点放置一个单位正电荷， 令 M 1 ( x 0 , y 0 ), M 2 ( x 0 , y 0 ), 是 M 0 ( x 0 , y 0 ) 关于两个坐标轴x,y对称的点，并且 在这些点分别放置一个单位负电荷，

令

M 3 ( x0 , y0 )

是

M 0 ( x0 , y0 )

关于坐标原点对称的点,

并且在这个点放置一个单位负电荷. 则 第一卦限的格林函数为G 1 2 1 2

(ln

1 rM0M

ln1

1 rM3M

ln1 2

1 rM1M

ln

1 rM122M

)

ln2

2

ln

( x x0 ) ( y y0 )

( x x0 ) ( y y0 )

2

1 2

ln2

1 ( x x0 ) ( y y0 )2

1 2

ln2

1 ( x x0 ) ( y y0 )2

第五章 行波法与积分变换法 1解：定解问题为2 2u 2 u 2 a 2 t x u ( x, 0) 0 I ut ( x, 0) ( x) (x c)

利用行波法可得u ( x, t) 1 2

[( ( x a t ) ( x a t )]

1 2a

x at x at

(s)ds

I

1 2a

I

x at x at

( x c)dx

2a

[ h ( x a t c ) h ( x a t c )]

这里h(x)是单位阶跃函数。

2 解:记 u ( , t ) F [ u ( x , t )], ( ) F [ x u 2 u a 2 t x u ( x, 0) x 2 1 2

2

1]

对定解问题

关于x作Fourier变换可得

u ( , t ) ( a w ) 2 u ( , t ) t u ( w , 0) ( )

解此定解问题可得 a w t2 2

u ( , t ) ( ) e

作Fourier 逆变换可得u ( x, t) F 1

( u (( , t ))) F

1

( ( ) e

a w

t

2

2

) F

1

( ) F

1

(e

a w t

2

2

)

( x 1) F2

1

(e

a w t

2

2

) x2 2

F

1

(e

a w t

2

2

) x2 2

1 2a t 1 2a t

e

4a t

u ( x 1) 2

1 2a t(x ) 2a t

e

4a t

( x )

2

e2

4a t

2

d

( x )

2

e

4a t

2

d

(令 1 2a t

s

)t s x) e2 s2

(2a …… 此处隐藏：2248字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……