第三章作业及答案(学生版)

习题3-1

1.

而且P{X1X2 0} 1. 求X1和X2的联合分布律. 解 X1和X2的联合分布律

2. 设随机变量(X,Y)的概率密度为

k(6 x y),0 x 2,2 y 4,

f(x,y)

其它. 0,

求: (1) 常数k; (2) P{X 1,Y 3}; (3) P{X 1.5}; (4) P{X Y≤4}.

解 (1) k

1

. 8

38

. (2) P{X 1,Y 3}

(3) P{X 1.5}

2732

(4) P{X Y≤4}

. 3

3. 二维随机变量(X,Y)的概率密度为

2

kxy,x2≤y≤1,0≤x≤1,

f(x,y)

其它. 0,

试确定k, 并求P{(X,Y) G},G:x2≤y≤x,0≤x≤1.

解 k 6.P{(X,Y) G}

1

. 4

4. 设二维随机变量(X, Y)概率密度为

4.8y(2 x),0≤x≤1,0≤y≤x,

f(x,y)

其它. 0,求关于X和Y边缘概率密度.

解

fX(x)

x 4.8y(2 x)dy,0 x 1,

f(x,y)dy 0

其它. 0,

fY(y)

2.4(2 x)x2,0 x 1,

其它. 0,

1 4.8y(2 x)dx,0 y 1,

f(x,y)dx y

其它. 0,

2

2.4y(3 4y y),0 y 1,

其它. 0,

5. 假设随机变量U在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量

1,若U≤ 1, 1,若U≤1,

X Y

1,若U 1,1,若U 1. 试求：(1) X和Y的联合概率分布；(2)P{X Y≤1}.

解 (1)

P{X 1,Y 1} P{U≤ 1,U≤1} P{U≤ 1}

同理, P{X 1,Y 1} P{U≤ 1,U 1} 0；

1

14

2

x

14

;

P{X 1,Y 1} P{U 1,U≤1}

12

；

2

P{X 1,Y 1} P{U 1,U 1} P{U 1}

于是得到X和Y的联合概率分布为

1

1

1x . 44

(2)P{X Y≤1} 1 P{X Y 1} 1 P{X 1,Y 1} 1

习题3-2

1. 设(X, Y)的分布律为

13

. 44

求: (1) 在条件X=2下Y的条件分布律;

(2) P{X≥2Y≤2}.

解 (1) P{X 2} 0.6,所以在条件X=2下Y的条件分布律为

1, 2

P{Y 2|X 2} 0,

P{Y 1|X 2}

1, 61

P{Y 4|X 2} ,

3P{Y 3|X 2}

或写成

(2) 注意到P{Y≤2}=0.6.P{X≥2,Y≤2} 0.5 因此 P{X≥2Y≤2}

P{X≥2,Y≤2}

P{Y≤2}

2. 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为

0.55

. 0.66

f(x,y)

1,0 x 1,0 y 2x,

0,其它.

11X≤ 22

求：(1) (X, Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)；(2)P{Y≤

y

2x,0 x 1, 1 ,0 y 2,

fY(y) 2解 (1)fX(x)

0,其它. 其它. 0,

z

1 ,0 z 2,

(2) fZ(z) Fz (z) 2

其它. 0,

113

PX≤，Y≤

11 3 22

. (3) P Y≤X≤

1122 4 PX≤

42

3. 设G是由直线y=x, y=3,x=1所围成的三角形区域, 二维随机变量(X,Y)在G上服从二维均匀分布.求:

(1) (X, Y)的联合概率密度；(2) P{Y X≤1}；(3) 关于X的边缘概率密度. 解 (1)

1 ,(x,y) G,

f(x,y) 2

0,(x,y) G.

(2)P{Y X≤1}=

3

. 4

1

(1 x),x [1,3],

(3) fX(x) 2

其它. 0,

习题3-3

1. 设X与Y相互独立, 且分布律分别为下表:

求二维随机变量(X,Y)的分布律.

解

1

P{X xi,Y yj} P{X xi} P{Y yj},i 1, ,0;j 0,2,5,6.

2

2. 设(X, Y)的分布律如下表:

问 , 为何值时X与Y相互独立?

2

1, 3

解 可得方程组

111 ( ). 939

解得

29

,

19

.

经检验, 当 因此当

29

,

19

时, 对于所有的i=1,2; j=1,2,3均有pij= pi. p.j成立.

时, X与Y相互独立..

99

3. 设随机变量X与Y的概率密度为

2

,

1

be (x y),0 x 1,y 0,

f(x,y)

其它. 0,

(1) 试确定常数b.

(2) 求边缘概率密度fX(x), fY(y). (3) 问X与Y是否相互独立？

1

解 (1) b .

1 e 1(2) fX(x)

fY(y)

e x

,0 x 1,

f(x,y)dy 1 e 1

其它. 0,

e y,y 0,

f(x,y)dx

其它. 0,

(3) X与Y相互独立.

4. 设X和Y是两个相互独立的随机变量, X在(0, 1)上服从均匀分布, Y的

概率密度为

y

1 2 e,

fY(y) 2

0，

y 0,

y≤0.

(1) 求X和Y的联合概率密度.

(2) 设关于a的二次方程为a 2Xa Y 0, 试求a有实根的概率.

解 (1)

y

1 2

e,0 x 1,y 0

f(x,y) fX(x)fY(y) 2

其它. 0,

2

(2) {方程有实根} {X2≥Y}.P{X2≥Y} 0.1445 习题3-4

1. 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为

若随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立, 求常数a, b.

解 解得a 0.4,b 0.1.

2. 设两个相互独立的随机变量X,Y的分布律分别为

求随机变量Z = X + Y的分布律. 解

3. 设X和Y是两个相互独立的随机变量, 且X服从正态分布N(μ, σ2), Y服从均匀分布U(-a, a)( a>0), 试求随机变量和Z=X+Y的概率密度.

解

fZ(z)

fX(z y)fY(y)dy

12a a

(z y )2

2 2

dy

=

1z μ az μ a[Φ() Φ()]. 2aσσ

4. 设随机变量X和Y的联合分布是正方形G={(x,y)|1≤x≤3, 1≤y≤3}上

的均匀分布, 试求随机变量U=|X-Y|的概率密度f(u).

解 随机变量U |X Y|的概率密度为

1

(2 u),0 u 2,p(u) 2.

其它. 0,

总习题三

1. 设随机变量(X, Y)的概率密度为

1,|y| x,0 x 1,

f(x,y)

0,其它.

求条件概率密度fY|X(y|x)和fX|Y(x|y).

解

1

,y x 1,

当0 y 1时, fX|Y(x|y) 1 y

0,x取其它值.

1

, y x 1,

当 1 y≤0时, fX|Y(x|y) 1 y

0,x取其它值. 1

,|y| x,

当0 x 1时, fY|X(y|x) 2x

y取其它值. 0,

2. 设随机变量X与Y相互独立, 下表列出二维随机变量(X,Y)的分布律及

关于X和关于Y的边缘分布律中部分数值, 试将其余数值填入表中空白处 .

解 得到下表

3. 设随机变量(X,Y)的概率密度为

ke (3x 4y),x 0,y 0,

f(x,y)

其它. 0,

1,0 Y≤2}; (1) 求常数k；(2) 求(X,Y)的分布函数；(3) 计算P{0 X≤

(4) 计算fx(x),fy(y)；(5) 问随机变量X与Y是否相互独立? 解 (1) k 12.

(2) (X,Y)的分布函数

(1 e 3x)(1 e 4y),x 0,y 0,

F(x,y)

其它. 0,

1,0 Y≤2} F(1,2) F(0,0) (1 e 3)(1 e 8). (3) P{0 X≤

3e 3x,x 0, 4e 4y,y 0,

(4) fX(x) fY(y)

0,其它.其它. 0,

(5) X与Y相互独立.

4. 解 (1) X与Y不相互独立. (2) Z

(3) V

(4) U min{