2013届高考文科数学一轮复习考案8.4 直线与圆锥曲线的位置关系

§8.4 直线与圆锥曲线的位置关系 考纲解读 知识盘点 典例精析 命题预测

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考 1

点

考纲解读

直线与圆锥曲 能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究 线的位置关系 方程组的解的问题.会利用直线与圆锥曲线方程所组成的 方程组消去一个量后,将交点问题(包括公共点个数、与 交点坐标有关的问题)转化为一元二次方程根的问题,结 合根与系数的关系及判别式解决问题.能够运用数形结合, 迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系,但要注意曲线 上的点的纯粹性.

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从近两年的高考试题来看,直线与圆锥曲线的位置关系、弦长 、中点弦的问题等是高考的热点问题,题型既有选择题、填空题,又 有解答题,难度属中等偏高.客观题主要考查直线与圆锥曲线的位置 关系、弧长问题,解答题考查得较为全面,在考查上述问题的同时,注 重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等思想方法. 预测2013年高考仍将以直线与圆锥曲线的位置关系为主要考点,重

点考查运算能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力.

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1.直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲线相交、相切 、相离,解题的方法是将问题转化为直线方程与圆锥曲线方程组成 的方程组解的个数,进而转化为一元(一次或二次)方程解的情况去 研究. 直线方程

圆锥曲线方程

ax2+bx+c=0

(1)若a=0,直线与圆锥曲线有一个公共点,但并不相切.此时,圆锥曲线 不会是椭圆.当圆锥曲线为双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或

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重合.当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行或重合. (2)若a≠0,设Δ=b2-4ac ①Δ>0时,直线与圆锥曲线相交于两个点; ②Δ=0时,直线与圆锥曲线相切; ③Δ<0时,直线与圆锥曲线相离. 另外,还能利用数形结合的方法,迅速判断某些直线和圆锥曲线的位 置关系. 2.直线与圆锥曲线相交的弦长计算

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(1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间的 距离公式求弦长. (2)解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x(或y)的 一元二次方程,设直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线斜率 为k,则弦长公式为 |AB|= (1 k 2 )[( x1 x2 )2 4 x1x2 ](1 或 |AB|= 1 )[( y1 y2 ) 2

4 y1 y2 ] (k≠0). 2 k

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1.过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x只有一个公共点,这样的直线有 ( ) (B)1条. (C)2条. (D)3条.

(A)0条.

【解析】因为点(2,4)在抛物线y2=8x上,所以过点(2,4)与抛物线只有

一个公共点的直线有切线一条,平行于抛物线对称轴的直线一条,共2条. 【答案】C

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x2 y 2 2.过原点的直线l与双曲线 - =1有两个交点,则直线l的斜率的取 4 3

值范围是 ( (A)(- , ).3 2 3 2

)

(B)(0, )∪( ,+∞).

3 2

3 2

(C)[- , ].(D)(-∞,- ]∪[ ,+∞).x2 y 2 1 2 k2 2 【解析】(法一)设l:y=kx,代入 - =1中,得 x - x =1, 3 4 4 33 2 3 2

3 2

3 2

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1 k2 2 3 3 即( - )x -1=0,由Δ>0知,- <k< . 4 3 2 2

(法二)易求得双曲线的渐近线为y=± x,结合图形及渐近线的几何3 3 意义,可知当直线l的斜率满足- <k< 时,直线l与双曲线有2个交 2 2

3 2

点. 【答案】 A

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3.抛物线y =4x的焦点为F,过F且倾斜角等于 的直线与抛物线在x轴 32

上方的曲线交于点A,则AF的长为 ( (A)2. (B)4. (C)6. (D)8.

)

3 (x-1),联立直线与抛物线 【解析】由已知可得直线AF的方程为y=

的方程,消元得3x2-10x+3=0,解得x1=3,x2= (舍去),由抛物线的定义可 得|AF|=xA+ =3+1=4. 【答案】Bp 2

1 3

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x2 y 2 4.直线y=kx-2与椭圆 + =1相交于不同的两点P、Q,若PQ的中点 80 20

的横坐标为2,则弦长|PQ|等于

.

y kx 2 2 【解析】由 x y 2 得(1+4k2)x2-16kx-64=0, 80 20 1

16k 1 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2= 2 =2×2,解得k= . 2 1 4k

所以x1+x2=4,x1x2=

64 =-32, 1 4k 2

1 k 2 |x1-x2| 所以|PQ|= ( x1 x2 )2 4 x1x2 =6 5 . 1 k 2 = 5 【答案】 6 考纲解读 典例精析 命题预测 技巧归纳 知识盘点 真题探究 基础拾遗 例题备选

题型1直线与圆锥曲线的关系问题x2 y2 (1)直线y=kx-k+1与椭圆 + =1的公共点个数有 9 4

例1

(

)

(A)2个.

(B)1个.

(C)0.

(D)不确定.

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(2)过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线 ( (A)有且仅有一条. (C)有无穷多条. (B)有且仅有两条. (D)不存在. )

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纳

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基础拾遗 例题备选

x2 y 2 (3)(2011年湖北黄冈期末)设离心率为e的双曲线C: - =1(a>0,b>0) a2 b2

的右焦点为F,直线l过焦点F,且斜率为k,则直线l与双曲线C的左右两 支都相交的充要条件是 ( (A)k2-e2>1. (C)e2-k2>1. (B)k2-e2<1. (D)e2-k2<1. )

【分析】(1)联立直线方程与椭圆方程,消去x,用判别式的值去判断, 也可根据直线过定点位置,直观判断.

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(2)求出抛物线的焦点,设出直线方程,再联立方程组消元,后根据根 与系数之间的关系求解; (3)数形结合,比较直线斜率k与渐近线的斜率来建立a,b,k与e之间的 不等关系即可求解. 【解析】(1)直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),且定点在椭圆内,∴ 直线与椭圆相交.

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(2)(法一)设直线AB的方程为x=my+1,代入得y2-4my-4=0,∵x1+x2=2,∴2 ( y1 y2 ) 2 2 y1 y2 16m 2 8 y12 y2 + =2,即 = =2,解得m=0,故可作1条直线. 4 4 4 4

(法二)设y2

2

p2 =2px的焦点弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),则有定值x1x2= ,y1y2=-p 4

.

22 ∵x1+x2=2,x1x2= =1,故x1=x2=1,故直线仅此1条,恰为通径. 4

(3)如图所示,直 …… 此处隐藏：2978字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……