2019-2020学年新培优同步人教B版高中数学必修一练习：第2章 函数

2.4　函数与方程

2.4.1　函数的零点　2.4.2　求函数零点近似解的一

种计算方法——二分法

课时过关·能力提升

1用二分法求函数f (x )=x 3+5的零点时,可以取的初始区间为(　　)

A .[-2,1]

B.[-1,0]

C.[0,1]

D.[1,2]

f (-2)=(-2)3+5=-3<0,f (1)=13+5=6>0,f (-2)·f (1)<0,因此可以将[-2,1]作为初始区间,故选A .

2函数f (x )=的零点是(　　)

x 2+3x

x +2A.0和-3

B.0C.-3 D.0,-3和-2

f (x )=0得x=0或-3,但当x=-3时,f (x )无意义,故f (x )只有一个零点0.

3已知函数f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),若f (1)>0,f (2)<0,则f (x )在(1,2)上零点的个数是(　　)

A .至多有一个

B.有一个或两个

C.有且仅有一个

D.一个也没有

f (x )在(1,2)上有且只有一个零点.

4已知函数f (x )=mx 2+8mx+21,当f (x )<0时,-7<x<-1,则实数m 的值为(　　)

A.1

B.2

C.3

D.4

,-1和-7分别是函数f (x )=mx 2+8mx+21的两个零点,因此由根与系数的关系有=(-1)×(-7)=7,解得21

m m=3.

5如图是函数f (x )的图象,它与x 轴有4个不同的公共点,给出的下列四个区间中,存在不能用二分法求出的零点,则该零点所在的区间是(　　)

A.[-2.1,-1]

B.[1.9,2.3]

C.[4.1,5]

D.[5,6.1]

[1.9,2.3]上.

6若关于x 的方程2ax 2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a 的取值范围是(　　)

A.(-∞,-1)

B.(1,+∞)

C.(-1,1)

D.[0,1)

f (x )=2ax 2-x-1.当a=0时,不符合题意;

当a ≠0时,则有f (0)·f (1)=-1×(2a-2)<0,

故a>1.

7若f (x )=(m-2)x 2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m 的取值范围是(　　)

A. B.(-12,14)(-1

4,12)

C. D.(14,12)[1

4,12]

,得解得<m<.

{f (-1)·f (0)<0,f (1)·f (2)<0,1412

8已知函数f (x )与g (x )满足的关系为f (x )-g (x )=-x-3,根据所给数表,判断f (x )的一个零点所在的区间为(

　　)x -10123

g (x )0.3712.727.3920.39

A.(-1,0)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(2,3)

f (x )=

g (x )-x-3,

且f (-1)=g (-1)+1-3<0,

f (0)=

g (0)-3=-2<0,

f (1)=

g (1)-1-3<0,f (2)=g (2)-2-3>0,

f (3)>0.由f (1)·f (2)<0,故零点在区间(1,2)内.

9函数f (x )=x-的零点是　　　　　.

4

x

f (x )=0,即x-=0,解得x=2或x=-2.

4

x

-2

10若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0(a ≠0)有一个正根和一个负根,则a 的取值范围是　　　　　.

,两根之积x 1·x 2=<0,

1a 故a<0.

-∞,0)

11设函数f (x )=又g (x )=f (x )-1,则函数g (x )的零点是　　　　　　　　.

{2x -1,x 2-4,x ∈[0,+∞),x ∈(-∞,0),

x ≥0时,g (x )=f (x )-1=2x-2,令g (x )=0,得x=1;当x<0时,g (x )=x 2-4-1=x 2-5,

令g (x )=0,得x=±(正值舍去),则x=-.

55故g (x )的零点为1和-.

5

-5

12二次函数y=ax 2+bx+c (x ∈R )的部分对应值如下表:

x -3-2-1

01234y 60

-4-6-6-406则不等式ax 2+bx+c>0的解集是　　　　　.

f (-2)=f (3)=0,且当x ∈(-2,3)时,y<0,故当x ∈(-∞,-2)∪(3,+∞)时,ax 2+bx+c>0.

x|x<-2或x>3}

★13在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障,这是一条10 km 长的线路,问如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多,每查一个点要爬一次电线杆,10 km 长,大约有200多根电线杆!想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?

.

如图所示,他首先从中点C 查,用随身带的话机向两端测试时,发现AC 段正常,断定故障在BC 段,再到BC 段中点D 查,这次发现BD 段正常,可见故障在CD 段,再到CD 中点E 来查.

这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,故经过7次查找,即可将故障发生的范围缩小到50 m ~100 m 之间,即一二根电线杆附近.

14已知二次函数f (x )=ax 2+bx (a ,b 是常数,且a ≠0)满足条件f (2)=0,方程f (x )=x 有两个相等的实根.

(1)求f (x )的解析式.

(2)是否存在实数m ,n ,使得f (x )的定义域和值域分别为[m ,n ]和[2m ,2n ]?若存在,求出m ,n 的值;若不存在,请说明理由.

由f (2)=0,得4a+2b=0.

由方程f (x )=x ,得ax 2+(b-1)x=0.

因为方程f (x )=x 有两个相等的实根,所以Δ=(b-1)2=0.解方程组

{4a +2b =0,(b -1)2=0,得{a =-1

2,b =1,故f (x )=-x 2+x.1

2(2)由(1)知,f (x )=-x 2+x=-(x-1)2+,即2n ≤,解得n ≤.故函数f (x )在[m ,n ]上是增函数.由

121212≤121214{f (m )=-12m 2+m =2m ,f (n )=-12

n 2+n =2n ,解得m=-2或m=0,n=-2或n=0.

因为m<n ,且n ≤,所以存在满足条件的实数m ,n ,且m=-2,n=0.14