2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征标准差

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2.2.2 用样本的数字特征估计 总体的数字特征标准差

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平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是 平均数向我们提供了样本数据的重要信息 但是 平均有时也会使我们作出对总体的片面判断. 平均有时也会使我们作出对总体的片面判断.因 为这个平均数掩盖了一些极端的情况， 为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极 端情况显然是不能忽的.因此， 端情况显然是不能忽的.因此，只有平均数还难 以概括样本数据的实际状态. 以概括样本数据的实际状态. 如：有两位射击运动员在一次射击测试中各 射靶10次 每次命中的环数如下： 射靶 次，每次命中的环数如下：甲：7 8 7 9 5 乙：9 5 7 8 7 4 6 9 10 7 8 6 7 4 7

如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价 如果你是教练 你应当如何对这次射击作出评价? 你应当如何对这次射击作出评价 如果看两人本次射击的平均成绩,由于 如果看两人本次射击的平均成绩 由于x甲 = 7,x 乙 = 7 的平均成绩是一样的.那么两个人的 两人射击 的平均成绩是一样的 那么两个人的 水平就没有什么差异吗? 水平就没有什么差异吗

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频率 0.3 0.2 0.1 4 频率 (乙) 乙 0.4 0.3 0.2 0.1 4 5 6 7 8 9 10 环数 5 6 7 8 9 10 环数 (甲) 甲

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直观上看,还是有差异的 如 甲成绩比较分散 甲成绩比较分散,乙成绩相 直观上看 还是有差异的.如:甲成绩比较分散 乙成绩相 还是有差异的 对集中(如图示 因此,我们还需要从另外的角度来考察 如图示).因此 对集中 如图示 因此 我们还需要从另外的角度来考察 这两组数据.例如 在作统计图,表时提到过的极差 例如:在作统计图 表时提到过的极差. 这两组数据 例如 在作统计图 表时提到过的极差 甲的环数极差=10-4=6 甲的环数极差 乙的环数极差=9-5=4. 乙的环数极差 它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度,与 它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度 与 平均数一起,可以给我们许多关于样本数据的信息 可以给我们许多关于样本数据的信息.显 平均数一起 可以给我们许多关于样本数据的信息 显 极差对极端值非常敏感,注意到这一点 然,极差对极端值非常敏感 注意到这一点 我们可以得 极差对极端值非常敏感 注意到这一点,我们可以得 到一种“去掉一个最高分,去掉一个最低分 去掉一个最低分” 到一种“去掉一个最高分 去掉一个最低分”的统计 策略. 策略

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考察样本数据的分散程度的大小， 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是 标准差. 标准差. 标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用s表示 表示. 标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用

表示. 所谓“平均距离” 其含义可作如下理解： 所谓“平均距离”,其含义可作如下理解： 假设样本数据是 x1 , x 2 , , x n , x 表示这组数据的平均 的距离是： 数,则 x i 到 x 的距离是： 则 的平均距离是： 于是样本数据 x1 , x 2 , , x n 到 x 的平均距离是：

| x i x | ( i = 1 , 2 , K , n ).

| x1 x | + | x 2 x | + L + | x n x | . S= n

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由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此， 由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改 用如下公式来计算标准差. 用如下公式来计算标准差.

s=

1 2 2 2 [( x1 x ) + ( x 2 x ) + L + ( x n x ) ] n

考虑一个容量为2的样本: 考虑一个容量为2的样本: 的样本

x 2 x1 x1 < x 2 ,其样本的标准差为 s = 其样本的标准差为 2s

x1

x1 + x 2 2

x2

显然,标准差越大， 越大，数据的离散程度越大； 显然 标准差越大，则s 越大，数据的离散程度越大； 标准差越大 标准差越小，数据的离散程度越小. 标准差越小，数据的离散程度越小

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例题1:画出下列四组样本数据的直方图 说明它们的 例题 画出下列四组样本数据的直方图,说明它们的 画出下列四组样本数据的直方图 异同点. 异同点 (1) 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; (2) 4, 4, 4, 5 , 5, 5, 6, 6, 6; (3) 3 , 3 , 4 , 4 , 5, 6 , 6, 7 , 7; (4) 2 , 2 , 2 , 2, 5 , 8 , 8 , 8 , 8 ;四组样本数据的直方图是: 解:四组样本数据的直方图是 四组样本数据的直方图是

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频率

频率

1.0 0.5

x=5S=0.00 (1)

1.0

x=5S=0.82

(2)

0.5

o 1 2 3 45 6 7 8频率

o 12 3 4 5 6 7 8 1.0 频率

1.0

x=5S=1.49

(3) 0.5

x=5S=2.83

(4)

0.5

o 12 3 4 5 6 7 8

o 1 2 34 5 6 7 8

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四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是 标准差分别是0.00,0.82, 四组数据的平均数都是 标准差分别是 1.49,2.83。虽然它们有相同的平均数 但是它们有 ， 。虽然它们有相同的平均数,但是它们有 不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的 不同的标准差 说明数据的分散程度是不一样的. 说明数据的分散程度是不一样的

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甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件 的一种零件. 例2 、甲乙两人同时生产内径为 的一种零件 为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中 为了对两人的生产质量进行评比 从他们生产的零件中 各抽出20件 量得其内径尺寸如下 单位:mm) 量得其内径尺寸如下(单位 各抽出 件,量得其内径尺寸如下 单位甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 乙 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48

从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高 从生产的零件内径

的尺寸看 谁生产的质量较高? 谁生产的质量较高

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分析:由于零件的生产标准已经给出 内径 分析 由于零件的生产标准已经给出(内径 由于零件的生产标准已经给出 内径25.40mm), 生产质量可以从两个角度来衡量. 生产质量可以从两个角度来衡量 (1)各自的平均数与内径标准尺寸 )各自的平均数与内径标准尺寸25.40mm的差 的差 异大时质量低,差异小时质量高 差异小时质量高; 异大时质量低 差异小时质量高 (2)平均数与标准尺寸很接近时 标准差小的时候 )平均数与标准尺寸很接近时, 质量高,标准差大的时候质量低 标准差大的时候质量低. 质量高 标准差大的时候质量低 :用计算器计算可得 用计算器计算可得: 解:用计算器计算可得:

x 甲 ≈ 25 . 401 , x 乙 ≈ 25 .406 ; s甲 ≈ 0 . 037 , s 乙 ≈ 0 . 068

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从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙生产的 从样本平均数看 甲生产的零件内径比乙生产的 更接近内径标准(25.40mm),但是差异很小；所以 但是差异很小； 更接近内径标准 但是差异很小 必须再从样本标准差看， 必须再从样本标准差看，

s甲 < s乙 ，因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度要高得多。于是可以作出判断， 度要高得多。于是可以作出判断，甲生产的零件 的质量比乙的高一些。 的质量比乙的高一些。

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标准差的其他作用与表现形式标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释.例如 在 标准差还可以用于对样 …… 此处隐藏：2444字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……