清华大学大学物理-波动-3-c

第二章

波动

2 .1 行波 2 .2 简谐波 △2 .3 物体的弹性形变 △2 .4 波动方程与波速 2 .5 波的能量 2 .6 惠更斯原理与波的反射和折射 2 .7 波的叠加 驻波 *2 .8-10 声波 地震波 水波 2 .11 多普勒效应 *2 .12 行波的叠加和群速度 *2 .13 孤子1

§2.6 惠更斯原理(Huygens principle)惠更斯原理 ① 波传到的每点是发射子波(次级波) 的点波源 ② 各子波面的包络面是下一时刻 的新波面

§2.7 波的叠加一.波的叠加原理 原理包含两方面内容： 1)波的传播的独立性

驻波

各振源在介质中独立地激起相应频率的波； 每列波的传播特性不因其他波的存在而改变。 2)叠加 在各波的相遇区，各点的振动是各列波 单独在此激起的振动的合成。

二 . 波的干涉现象 波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减 弱的分布叫波的干涉。 相干条件： ① 频率相同； ② 振动方向相同； ③ 有固定的相位差。

三. 驻波 两列相干的行波沿相反方向传播而叠加时，

就形成驻波，它是一种常见的重要干涉现象。平面驻波

平面驻波：提琴全息振型

四 . 波在界面的反射和透射，“半波损失”入射波 y1 透射波 y2 0

反射波 y1

z1

z2

z u — 特性阻抗 z大 — 波密媒质 相对 x z小 — 波疏媒质 而言x 2π 1 )

入射波

1 x A1 cos( ) t 2π 1 反射波 y1 1透射波 y2 A2 cos( t x

y1 A1 cos( t

2

2π 2 )6

机械波⊥入射时，有界面关系： ①界面两侧质元位移相同(接触) [ y1+ y1 ]x =0 = [ y2]x =0 ②界面两侧应力相等(牛顿第三定律) F1 F1 S S x 0 y1 y1 E1 x x 0 x F2 S x 0 y2 (纵波) E2 x x 07

将 y 表达式代入界面关系，考虑E= u2 得：

相位关系 反射波： (1)若z1 > z2, 则 1 = 1 即波密 波疏，反射波和入射波同相

(2) 若z1 < z2, 则 1 = 1 即波疏 波密，反射波有相位突变 ——半波损失 透射波： 不论 z1 > z2, 还是 z1 < z2, 均有 2 = 1即透射波总是与入射波同相8

若忽略透射，则入射和反射波的波形如下：波疏媒质

波密媒质 波节x 2

驻波 相位突变 波密媒质

波疏媒质 波腹

x 驻波相位不变9

例 如图示， 余弦波沿 x 方向传播， a 点振 1u1 < 2u2 3u3 。 求： 动为 ya A1 cos t,y

1u1y1 1y1 y1 l

2u2 3u323

1)1区入射波函数 y1;

2)S1面上反射波 y1 ,

a 0d

x

(设其振幅为A1 ); x 3)S2面上反射回1区的 , ); S1 D S2 波 y1 (振幅 A1

x d y1 ( x , t ) A

1 cos ( t ) 解 ： 1) u1

4)使两列反射波在1区干涉相消的Dmin=?10

y y1

1u11 y1

2u2 3u32 3

a 0 d

x y 1lS1 D S2

x

d l l x ( x , t ) A1 cos ( t ) π 2) y1 u1 x 2l d cos ( t A1 ) π u1 x 2l d 2 D ( x , t ) A1 cos ( t ) 3) y1 u1 u2

产生相消干涉： 和 y1 4)如何使 y1

令 x 2l d cos t 1 ( x ) A1 cos ( t y1 ) π A1 u1 x 2l d 2 D 令 cos t 1 ( x ) A1 cos (t y1 ) A1 u1 u2 A1合 2D

1 π 1

u2 和y1 合成仍为行波， 其振 y1

与x无 关 ，

A1

1 决定。 幅A1合由 1

1

A1 1

1 2k π (k = 0,1,2 ) 1 相长干涉： 1 (2k 1)π 1 相消干涉： 12

y

产生相消干涉， 和 y1 应有： 若要 y1

x 2l d 2 D x 2l d (2k 1)π π u1 u2 u1 2 D π (2k 1)π (k = 0,1,2, ) u2 u2 (k 1)u2T (k 1) 2 2 D 2( k 1)π 2 2 Dmin D ( k 1) 2 2

媒质2可作为隐形涂层。13

五.简正模式 波在一定边界内传播时就会形成各种驻波。 如两端固定的弦，形成驻波必须满足以下条件： nn 2 L,n 1,2,3 …2L n n

Lu n n n 2L u

或

——系统的固有频率 F ——弦中的张力 l ——弦的线密度

波速 u

F

l

每种可能的稳定振动方式称作系统的一个 简正模式。n =1 基频 1 2

n =2 二次 谐频 n =3 三次 谐频

2 2

3 2

边界情况不同，简正模式也不同： n L= n 4 n L= n 2 n=1,3…

n=1,3…

L

L

n=1基频

1

1 4

n=1 基频

1

1 2

n=3 三次 谐频

3

3 2

n=3 三次 谐频

3

3 3 216

末端封闭的笛中的驻波 末端开放的笛中的驻波 17

例 一频率为248.5Hz的音叉放在盛水的细管口， 连续调节水面高度，当空气柱的高度相继为 L1 = 0.34 m 和 L2 = 1.03 m 时发生共鸣。 求：声波在空气中的声速 u 解： 发生共鸣时形成驻波，L1 L2

管口为波腹， 水面为波节。 空气柱长满足条件： L ( 2n 1) ,n 0, 1, 2 418

L1 ( 2n 1)

4

0.34m

L2 2( n 1) 1 1.03 m 4 故 2( L2 L1 ) 1.38m

L2 L1

2

0.69m

声速 u 1.38 248 .5 343 m/s1.38m 0.34m 因 L1 ( 2n 1) ( 2n 1) 4 4

得

n=0

4 3 L2 4

L1

L1

L2