初等代数研究( 第2章 )2011.9

第二章 式§1 §2 §3 §4 §5 §6 式的概念 多项式 分式 根式 指数式与对数式 三角式与反三角式

§1一、基本概念

式的概念

在初等数学中,数学符号大致包括五类: 数(0, 2 , 2 ,π ,…),字母(a,b,x,y,A,…), 3 运算符号(+,-,×,÷, ,…),关系符号(>,=,∈, ,…),n

结合符号((,),[,],…)等. 从广义的角度看,式是具有数学意义的有限符号序列. 根据式中是否含有关系符号,式可以分为两类: ⑴含有关系符号的式. 2 例如 2+3=5,2x=x+3,sin(x+1)>1,a +1 0,A B∪C,其中, 含等号或不等号的式子为等式或不等式. ⑵不含关系符号的式.例如 2,x+y, logax,sinx,2+ 通常称这类式子为解析式.2014-1-21 初等代数研究 2

c a b2

等.

§1一、基本概念

式的概念

定义1 用运算符号和括号把数和表示数的字 母连结而成的式子叫做解析式，约定：单 独一个数或一个字母也看作是解析式.初等运算 代数运算：加、减、乘、除、 乘方(指数为有理数)、开方 初等超越运算：乘方(指数为无理数)、 对数、三角、反三角等)2014-1-21 初等代数研究 3

§1

式的概念

二、解析式的分类定义2 只含有代数运算的解析式叫做代数式；含有初等超越运算的解析式叫做初等超越 式，简称超越式.单项式 多项式 分式 无理式 初等超越式：指数式( a , b为无理数), 对数式，三角式，反三角式等.2014-1-21 初等代数研究 4b

整式 有理式 代数式 解析式

§1二、解析式的分类

式的概念

关于这种分类方法的说明: ⑴ 解析式的分类是就它们的形式来说的。 如 tanx cotx 虽然恒等于 1, 但我们仍把它看作三角式或初等超越式；

( x 2 1) 2 2 恒等于 x +1,我们仍把它看作分式。 2 x 1⑵解析式的分类是针对所考察的字母涉及的运算而言的。 如式子3x 2 1 中,尽管有开方运算和除法运算，但对字母

x 而言，

只有乘法运算，所以它是字母 x 的多项式，式子 2 x 3 y 是关于字母 xz

的整式，也是关于字母 y 的整式，同时还是关于字母 x,y 的整式，但 它是关于字母 z 的分式。2014-1-21 初等代数研究 5

§1

式的概念

三、解析式的恒等定义2 .如果两个解析式A和B,对于它们的变数

字母在公共定义域中所有取值都有相同的值,则称这两个解析式恒等的, 记作

A≡B,或 A=B 。

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§12 2

式的概念

三、解析式的恒等a 2 b2 2 例如,x+y=y+x;(x+3) =x +6x+9; a b ;lgx =2lgx,等等. a b

必须注意,在叙述两个式恒等时,常省略字母的取值范围.两个解 析式是否相等,不仅解析式的形式有关,而且与所考虑的定义域有关. 例如,解析式 x 2 与 x 在实数集 R 中,它们不恒等;而在非负实数 集中,x 2 ≡x.

定义3.一个解析式转化

为另一个与它恒等的解析式, 这种转换叫做解析式的恒等变换(或恒等变形).2014-1-21 初等代数研究 7

§2一、基本概念

多项式

定义1.设n是一个非负整数，形如

f (x)= an x n an 1 x n 1 a1 x a0 , an 0 ,叫做一元多项式。

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§2 多项式二、多项式的恒等定理：定理1.如果在给定数域F里，对于变数字母的任意 值，多项式的值都等于零，那么这个多项式的所有 系数都等于零。 定理2(多项式恒等定理):数域F上的两个多项式 恒等 它们的次数相同，且同次项系数对应相等. 定理3: 如果数域F上有两个次数不大于n的多项式 f(x)和g(x),对于x的n+1个不同的值都有相等的值， 那么f(x) ≡ g(x)。2014-1-21 初等代数研究 9

§2 多项式例 1.已知 f ( x) 是二次多项式， f ( 1) 13, f (0) 1, f (1) 1 ,求 f ( x) 解法一(待定系数法):设 f ( x) ax 2 bx c ,由插值条件，有 a b c 13 解得： a 5, b 7, c 1 。故 f ( x) 5x2 7 x 1 。 c 1 a b c 1

解法二(基函数法):由插值条件，有f ( x) ( x 0)( x 1) ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 0) 13 1 ( 1) 5 x 2 7 x 1 ( 1) ( 2) 1 ( 1) 2 1

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§2 多项式三、待定系数法P80-81

例3 以x-2的幂表示多项式3x3-13 x2 +8 x -2 .

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四、多项式的因式分解1.待定系数法因式分解 2.余数定理和综合除法余数定理——多项式f(x)有因式(x-a)的充要条件 是f(a)=0。

3.其他方法例4 分解因式例5 分解因式2014-1-21

f ( x) 3 x 2 x 9 x 63 2

f ( x) x 6 x 11x 63 2初等代数研究 12

§3一、基本概念分式

分式

分式的恒等

二、分式的性质既约分式——

三、代数延拓原理四、分式的恒等变形 练习 P118-119:16-212014-1-21 初等代数研究 13

§3 分式四、分式的恒等变形a b c 18.已知：abc=1,求证： 1。 1 a ab 1 b bc 1 c caa b c x y z 19.已知： 1 , 0 , x y z a b cx2 y 2 z 2 求证： 2 2 2 1 。 a b c

1 1 1 1 * 20.已知： ,n∈N a b c a b c 1 1 1 1 求证： 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2n 1 2n 1 2n 1 。 a b c a b c2014-1-21 初等代数研究 14

§4一、基本概念

根式

1. 根式定义： 含有开方运算的代数式 叫做根式.当根式的根号内含有变数字母 时，就称它为无理式.2. 方根和算术根

a a ;n n2014-1-21

n

a a an初等代数研究

,n为奇数 ，n为偶数

§4 根式二、根式的运算法则和变形 1.根式的运算法则 法则1 (根式的基本

性质)np

A

mp

n

A

m

A 0, m, n N , n 1.

法则2 法则32014-1-21

n

AB n A n B ( A 0, B 0, n N , n 1).A Bn n

n

A B

( A 0, B 0, n N , n 1).初等代数研究 16

§4 根式法则4 ( n A ) m n Am 法则5n m

( A 0, m, n N , n 1).

A nm A ( A 0, m, n N , m 1, n 1).

2. 最简根式(1)根指数与被开方数幂指数互质； (2)被开方数因式的幂指数小于根指数； (3)被开方数不含分母。

3.根式的运算2014-1-21 初等代数研究 17

§4 根式三、复合二次根式A B

( A 0, B 0, A2 B 0)

A B

A A2 B A A2 B 2 2

( A 0, B 0, A2 B 0)四.共轭因式(有理化因式. 略)2014-1-21 初等代数研究 18

§4 根式例1 化简 lg( 3 5 3 5 ) 例2 化简 lg( x 2 x 1 x 2 x 1) ( x 1) 例3 证明3

7 5 2 3 7 5 2 2

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