概率统计2.2离散型随机变量及其概率分布

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§2.2离散型随机变量及其概率分布离散随机变量及分布律 定义 若随机变量 X 的可能取值是有限 个或可列个, 则称 X 为离散型随机变量

Ch2-12

描述X 的概率特性常用概率分布或分布律 即或P ( X xk ) pk , k 1,2,

X P

x1 p1

x2 xk p2 pk

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或

X~

x1 x2 xk p1 p2 pk 非负性 归一性

Ch2-13

分布律的性质 pk 0, k 1,2,

pk 1k 1

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离散随机变量及分布函数

Ch2-14

F ( x) P( X x) P( ( X xk ))xk x

xk x

P( X x ) pk xk x

k

pk P( X xk ) F ( xk ) F ( xk 1 ) 其中 xk 1 xk .F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取 值 xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间 断点,在间断点处有跃度 pk .

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Ch2-15

例1 设汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯, 每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过.令 X 表示 首次停下时已通过的信号灯盏数, 求 X 的概 率分布与 p = 0.4 时的分布函数. 解出发地甲地k

P( X k ) p (1 p), k 0,1,2,3

P( X 4) p ,4

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1 2 3 4 p 0.4 k 0 代入 pk 0.6 0.24 0.096 0.0384 0.0256x 0F (x)

Ch2-16

] ]

]

]

10, 0.6,

2

3

4

xx 0 0 x 1 1 x 2 2 x 3 x 4

P( X x )

0.936 0.0384 0.9744 , 3 x 41

0.6 0.24 0.84, 0.84 0.096 0.936,

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Ch2-17

F( x) 1

o

o

o

o

o 0

1

2

3

4

x

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用分布律或分布函数来计算事件的概率算 P(1 X 3) . 解 P(1 X 3) P( X 1) P( X 2) P( X 3) 或

Ch2-18

例2 在上例中, 分别用分布律与分布函数计

0.6(0.4 0.4 0.4 ) 0.37442 3

P(1 X 3) F (3) F (1 0) 0.9744 0.6

此式应理解为极限 lim F ( x ) x 1

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Ch2-19

例3 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标 必须被击中r 次才能被摧毁. 若每次击中目 标的概率为p (0 < p < 1), 且各次轰击相互独 立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需 轰击次数 X 的概率分布. 解 P(X = k) = P(前 k –1次击中 r – 1次， 第 k 次击中目标)

C p (1 p)帕斯卡 分 布

r 1 k 1

r 1

k r

pk r , r 1,

C p (1 p)r

r 1 k 1

k r

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注

Ck r

r 1 k 1

p (1 p)r

k r

Ch2-20

1

利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质 1 k 1 当 | x | 1 x 1 x k 1 1 k 2 (k 1) x (1 x) 2 k 2 2 k 3 (k 1)(k 2) x (1 x)3 k 3 1 2 k 3 Ck 1 x (1 x)3 k 3

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Ch2-21

归纳地

Ck r

r 1 k r k 1

x

1 r (1 x)k r

令 x 1 p

Ck r

r 1 k 1

(1 p )r

1 1 r r (1 (1 p )) pk r

Ck r

r 1 k

1

p (1 p)

1

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Ch2-22

作业 P82 习题二

2 5

4 6

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常见离散r.v.的分布(1) 0 – 1 分布

Ch2-23

X = xk Pk

1 pk

0 1-p1 k

0<p<1

或 P( X k ) p (1 p) , k 0, 1应用 场合 凡试验只有两个结果, 常用0 – 1

分布描述, 如产品是否合格、人

口性别统计、系统是否正常、电力消耗 是否超标等等.

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Ch2-24

(2) 二项分布n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,若Pn (k ) P( X k ) C p (1 p)k n k n k

, k 0,1, , n

则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作

X ~ B(n, p)0–1 分布是 n = 1 的二项分布

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二项分布的取值情况 设 X ~ B( 8, 13 )P (k ) P( X k ) C ( ) (1 3 ) 8k 1 k 3 8 1 8 k

Ch2-25

, k 0,1, ,8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 .039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 P0.273

由图表可见 , 当 k 2或 3 时， 分布取得最大值 P (2) P (3) 0.273 8 8 此时的 k 称为最可能成功次数 1 2 3 4 5 6 7 8

0

x

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Ch2-26

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 2 4 6 8

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Ch2-27

设 X ~ B(20,0.2)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001

P0.22

由图表可见 , 当 k 4 时， 分布取得最大值P20 (4) 0.22

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20

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Ch2-28

0.2 0.15 0.1 0.05

5

10

15

20

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二项分布中最可能出现次数的定义与推导 则称 k 为最可能出现的次数记 pk P( X k ) C p (1 p) , k 0,1, , nk n k n k

Ch2-29

若 P( X k ) P( X j ), j X 可取的一切值

pk 1 (1 p)k 1 pk p(n k 1)

pk (1 p)(k 1) 1 pk 1 p(n k )

(n 1) p 1 k (n 1) p

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Ch2-30

当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值 当( n + 1) p 整数时, 在 k = [( n + 1) p ] 处的概率取得最大值对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称