第三讲 复数域上的极限与连续

第三讲 复数域上的极限与连续

一．定义距离(两个复数之间的距离)

两个复数z1 x1 iy1,z2 x2 iyz的距离为

(z1,z2) z1 z2 .

有了两个复数之间的距离后,容易得出下面的结论

x1 x2,y1 y2} z1 z2 x1 x2 y1 y2(如图2.1).

二．复数序列的极限

复数列{zn} n 1,存在z0 ,使得

z0 limzn 对 0, N 0,当 n N时,有

n

zn z0 .

图2.1 引理 若zn xn iyn,n 1,2, ,z0 x0 iy0,则

limx x0 n n

limzn z0 . n limy y0

n n

三．复函数的极限

定义 设f:D 单值函数w f(z),z0 x0 iy0是D的一个聚点(非孤立点).若对于 0, 0,当0 z z0 时,有f(z) A ,则称f(z)当

z z0时以A为极限,记为

z z0

limf(z) A.

引理 设z x iy,z0 x0 iy0,w f(z) u(x,y) iv(x,y),A a ib,则有

limu(x,y) a (x,y) (x0,y0)

. limf(z) A

z z0limv(x,y) b (x,y) (x0,y0)

四．复函数的连续

定义 设w f(z)定义在复数集D上,z0 x0 iy0 D是D的一个聚点,若

z z0

limf(z) f(z0),则称f(z)在点z0连续.

注:若点z0是D的一个孤立点,则f(z)在点z0连续.

引理 复函数w f(z) u iv在点z0 x0 iy0连续 函数u(x,y),v(x,y)在点(x0,y0)连续.

复函数w f(z)在点集D上的每一点连续,则f(z)是D上的连续函数.

五．复级数

定义 设复数列{u}

kk 1,复数项级数的前

n项之和sn uk(n 1,2, ),

k 1

n

然而得部分和序列{sn},级数和

u

k 1

k

limsn,即 uk A limsn A.

n

k 1

n

引理 复数列{uk} k 1,若uk ak ibk,A a0 ib0,有

ak a0

k 1

. u A k

k 1 b b

k0 k 1

绝对收敛:级数

u

k 1

k

收敛,则称

u

k 1 k 1

k

绝对收敛.

级数

u

k 1

k

绝对收敛当且仅当级数

a

k

和级数

b

k 1

k

收敛.

六．复函数列{uk(z)} k 1

设复函项级数

u(z),在点z

kk 1

D,使复数列 uk(z0)收敛,则称复函数

k 1

列在点z0收敛,z0称为复函数列的收敛点.收敛域={所有收敛点}.

复函项级数

u(z)绝对收敛 u(z)收敛.

k

k

k 1

k 1

x

xx2xn

补充内容:实数域上有e 1

1!2!n!

x3x2n 1n

sinx x ( 1)

3!(2n 1)!

2nx2nx cosx 1 ( 1) 2!(2n)!

下面把上面的情况推广到复数域上:

ix(ix)2(ix)n

(1)形式上的令e 1 (x )

1!2!n!

ix

由i2 1得eix cosx isinx. 下面是对Euler公式的严格定义和证明:

zz2zn

设z ,对n 1,2, ,令zn 1 得到序列{zn},不妨设

1!2!n!

m n,那么

zn 1zn 2zmzn 1zn 2zm

zm zn

(n 1)!(n 2)!m!(n 1)!(n 2)!m!

(1)

2

znzz

,{an}收敛于ez,因为{an}再对实数序列进行分析{an 1

1!2!n!

收敛,由柯西准则有

(n 1)!(n 2)!m!

由(1)可知{zn}也是柯西序列,所以{zn}收敛.记{zn}的极限为ez, 即 z 定义

zz2znzn

e 1

1!2!n!k 1n!z

zn 1zn 2zm

zn

级数 收敛且绝对收敛,收敛域为整个复数域 .

k 1n!

z3z2n 1n

(2)形式上的令sinz z ( 1)

3!(2n 1)!

z3z2n 1n

定义序列zn z ( 1),利用上面同样的方法,可得

3!(2n 1)!

2n 1

z3z

sinz z ( 1)n

3!(2n 1)!

2n

z2nz(3)同理,也有cosz 1 ( 1) 2!(2n)!

由(1)(2)(3)得证eiz cosz isinz(Euler公式).

练习:

1. 设z (1 i)3

(1)z表示为实部虚部的形式; (2)求z,argz( , ); (3)求z的Euler指数表示; (4)z的三角表达式;

解 (1) z (1 i)3 (1 i)2(1 i) 2i(1 i) 1 2i, Rez 2,Imz 2.

(2)z (1 i)3 i 3 argz arctan

3i 4

3

Imz3

arctan( 1) .

Rez4

(3)z .

(4)z isin ) 3434 ). 22

2. 求(1)e;(2)cosi;(3)sini;(4)Re

1 i

1 i. 1 i

解 (1) e1 i e ei e(cos1 i sin1) Re(e1 i) e cos1,Im(e1 i) e sin1.

ei i e i ie 1 e

(2)cosi .

22

ei i e i ie 1 e(e e 1)i

(3)sini .

2i2i2

1 i(1 i)21 i

(4) i, Re 0.

1 i(1 i)(1 i)1 i

3. (1)i;(2)lni;(3)Imln( 1).

1

3

解 (1)i i e

13

13

13

argi 2k i()

3

e

i( 2k 3

)

e

2i( k )63

当k 0时

,(i)0 e6 cos

1

3

5 i6

i

6

i sin

6

1 i; 22

当k 1时

,(i)1 e

13

cos

5 5 1 i sin i; 66223 3 i sin i. 22

当k 2时,(i)2 e(2)lni lni i(

3

i2

cos

2k ) i( 2k ),k . 22

(3)ln( 1) i( 2k ) i(2k 1) , Imln( 1) (2k 1) .