11-12(2)高等代数与解析几何试卷(A)参考答案及评分标准

中国计量学院2011 ~ 2012学年第 2 学期

《高等代数》(2)课程试卷（A）

参考答案及评分标准

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1.D 2.B 3.D 4.C 5.A

二、填空题(每小题3分，共15分)

100

11 22

010x y 2pz．1. ； 2. __1，-3__； 3.； 4. 5. x y 2 0

1 1 011

三、计算题

1．(12分)设A是P中的线性变换，且A在基 1 ( 1,1,1), 2 (1,0, 1), 3 (0,1,1)下的矩阵为

3

101 A 110

121

求A在基 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)下的矩阵.

110

01 ， 解 因为( 1, 2, 3)=( 1, 2， 3) 1

1 11

11 1

所以 ( 1, 2， 3)=( 1, 2, 3) 01 1 =( 1, 2, 3)X，-------------4分

101

故A在基 1, 2， 3下的矩阵为

110 101 11 1 11 2

1

01 110 01 1 = 220 -------------12分 B=XAX= 1

1 11 121 101 302

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1

2．(12分)求λ矩阵A( )

1 2

因子．

解 对 矩阵作初等变换,有

2 2

的标准形、不变因子、行列式因子、初等 2

1

A( )

1 2

10

0

00

2 2

2 1 2

0 1 2 2

10

0 00 ( 1)

0 D( ) ( 1)

0 ；----------------------6分 ( 1) 0

10

标准形为: D( ) 0

00

不变因子为：d1( ) 1,d2( ) ,d3( ) ( 1)；----------------------8分 行列式因子为：D1( ) 1,D2( ) ,D3( ) ( 1)；----------------------10分 初等因子为： , , 1.----------------------12分

3．(12分) 设二次型f x1,x2,x3 x1 2x2 2x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3 ，求一正交变

2

2

2

2

2

换 x Ty，将二次型化为标准形. 解 二次型对应的矩阵为

1 22

A 2 24 ，----------------------2分

242

且A的特征多项式为 特征值为

1 7, 2 3 2．---------------------4分 相应的特征向量为 1 1,正交化,可得

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E A ( 7)( 2)2，

2, 2 , 2 2,1,0 , 3 2,0,1 ，---------------------6分

1 1,再单位化,有

2

2, 2 , 2 2,1,0 , 3 ,

54 ,1 ， 5

1 ,

1

3 222

, , 2 , 33

1

245

,0 , ,, 3 ， 5 333

----------------------8分

令X=TY，其中

1

3 2

T

3 2 3

'

210

2

5

2 35 4

，----------------------10分 35 5 35

2

2

则 XAX 7y1 2y2 2y3．----------------------12分

4.(12分) 求顶点在原点，准线为x 2z 1 0,y z 1 0的锥面方程. 解 设为锥面上任一点M(x,y,z)，过M与O的直线为：

2

XYZ

----------------------3分

xyz

设其与准线交于(X0,Y0,Z0)，即存在t，使X0 xt,Y0 yt,Z0 zt， -----------6分 将它们代入准线方程，并消去参数t，得：

x2 2z(z y) (z y)2 0

即：x y z 0

此为所要求的锥面方程. ----------------------12分

2

2

2

x2y2

z上的点（2,1,0）的直母线方程. 5. (12分)求过双曲抛物面

164x2y2

z的两族直母线为： 解：双曲抛物面

164

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xy 42

u(x 4 xy

42

及 y v(x ) z 2 4 u

vy

z2

----------------------6分

将点（2,1,0）分别代入上面两族直母线的方程，求得

u 1,v 0

因此，所求的直母线方程为：

----------------------10分

x 4 x 4y

12

及 y z2

xy 0

----------------------12分 42

z 0

四、证明题((每小题5分，共10分)

1.在R2中，定义变换 (x,y) (x 2y,2x y)． （1）证明： 是R2的线性变换.

2

（2）取R的一组基： 1 (1,0), 2 (0,1)，求 的值域 (R)及 (R)的一组基.

2

2

证明(1)设 有

x 12 x 22

A ， 是R到R的映射，且 , R, k R，

y 21 y

(k l ) A(k l ) kA lA ，

所以 是线性变换；-----------------3分

2

(2) 对于R的基： 1 (1,0), 2 (0,1)，有

( 1) (1,2), ( 2) (2,1)，

易知 ( 1), ( 2)线性无关，于是它们构成 (R)的一组基，且值域为 (R) L( ( 1), ( 2)) L((1,2),(2,1)).-----------------5分 2.欧氏空间V中的线性变换A称为反对称的，如果对任意 ， V，有

（A ， ）= —（

． ，A ）

3

2

证明：如果V1是反对称线性变换A—子空间，则V1证明 任取 V1

也是A—子空间．

，可证A V1

，即A V1，事实上，任取 V1，由于V1是

《高等代数》(2)课程试卷（Ａ）参考答案及评分标准 第 4 页 共 5页

A子空间，因此A V1，而 V1再由题设，A是反对称的，知

，故（ ，A ）=0．----------------------3分

（A ， ）= —（ ，A ）=0，----------------------4分

由 的任意性，即证A V1 ．从而V1

也是A—子空间．----------------------5分

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