D11.5 对坐标的曲面积分

第五节

第十一章

对坐标的曲面积分一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质

三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系

一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面 单侧曲面曲面分内侧和 外侧

莫比乌斯带(单侧曲面的典型)高等数学

曲面分左侧和 右侧

曲面分上侧和 下侧

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指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向 表示 :

方向余弦侧的规定

cos

cos

cos

封闭曲面外侧

> 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧

< 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧

内侧

设 为有向曲面, 其面元 S 在 xoy 面上的投影记为

( S ) x y , ( S ) x y高等数学

的面积为

则规定

( ) x y , 当cos 0时 ( ) x y , 当cos 0时 当cos 0时 0,

类似可规定

( S ) yz , ( S ) zx目录 上页 下页 返回 结束3

二、 对坐标的曲面积分的概念与性质1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为

求单位时间流过有向曲面 的流量 .分析: 若 是面积为S 的平面,

n

v

法向量:流速为常向量: 则流量

S

高等数学

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对一般的有向曲面 , 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”

ni vi

进行分析可得 lim vi n i Si 0

n

设 ni (cos i , cos i , cos i ) , 则n

i 1

lim P( i , i , i ) cos i Q( i , i , i ) cos i 0 i 1

lim

0

i 15

n

R( i , i , i ) cos i Si

高等数学

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2. 定义. 设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个 向量场 A ( P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )), 若对 的任 意分割和在局部面元上任意取点, 下列极限都存在i 1

Q( i , i , i )( Si ) z x

n

则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 分, 或第二类曲面积分. 记作

Pd y d z Qd z d x Rdx d yP, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面.高等数学

dxdy

dz

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P d y d z 称为P 在有向曲面 上对 y, z 的曲面积分;称为Q 在有向曲面 上对 z, x 的曲面积分;

R d x d y

称为R 在有向曲面 上对 x, y 的曲面积分.

引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为

Pd y d z Qd z d x Rd x d y

若记 正侧的单位法向量为 n ( cos , cos , cos )

令 d S n d S (d yd z, d zd x, d x d y )

A ( P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ) )则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式高

等数学目录 上页 下页 返回 结束7

P d y d z Q d z d x R d x d y A n d S A d S 3. 性质 (1) 若 之间无公共内点, 则

A d S

i A d S

(2) 用 ˉ 表示 的反向曲面, 则

高等数学

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三、对坐标的曲面积分的计算法定理: 设光滑曲面 是 上的连续函数, 则 取上侧,

, y, z ( x, y )) d x d y R( x, y, z) d x d y D R( x n 证: R( x, y, z ) d x d y lim 0xy

∵ 取上侧, ( Si ) x y ( i ) x y

i 1

i z ( i , i )n i 1

lim 高等数学

R( i , i , 0Dx y

) ( i ) x y

R( x, y, z ( x,y)) d x d y目录 上页 下页 返回 结束9

说明: 如果积分曲面 取下侧, 则

R( x, y, z ) d x d y Dx y R( x, y, z( x, y)) d x d y 若 则有

P( x, y, z ) d ydz Dy z P( x( y, z) , y, z ) d y d z 若 则有

(前正后负)

Q( x, y, z ) d z d x Dz x Q (x, y( z, x) , z ) d z d x高等数学

(右正左负)

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2 xyz d x d y , 其中 S 为球面 x 例1. 计算曲面积分 S

y z 1 外侧在第一和第五卦限部分.思考: 下述解法是否正确:根据对称性 S xyz d x d y 0 解: 把 S 分为上下两部分

2

2

zS2

oD xy x

1 y S1

S1 : z 1 x 2 y 2 S2 : z 1 x y x2 y2 1 ( x, y ) D x y : x 0 , y 0高等数学目录 上页 下页 返回 结束11

2

2

S

x y z d x d y S x y z d x d y S x y z d x d y1 2

Dx y

xy ( 1 x 2 y 2 ) d x d y Dx y

xy

1 x2 y2 d x d y

zS2

2 2 高等数学

Dx y Dx y

xy 1 x2 y2 d x d y r sin cos 1 r rd rd 2 2

oD xy x

0

2 sin 2

d

1 3 r 0

1 r2 d r

1 y S1

2 15目录 上页 下页 返回 结束12

2 ( x z ) d y d z z d x d y, 例2. 计算

z2

1 2 2 z ( x y ), 其中 是旋转抛物面: 2 (0 z 2) 取下侧.先计算 z d x d y. 解：

o x

y

1 2 : z ( x y 2 ), Dxy : x2 y 2 4 2 取 的方向为下侧， 1 2 z d x d y ( x y 2 ) d x d y 2 Dxy 高等数学2 1 2 d r 3 d r 4 . 0 2 0目录 上页 下页 返回 结束13

再计算 ( x z 2 ) d y d z.

z2

把Σ分成两部分： 1 : x 2 z y2

取前侧；

o x

y

2 : x 2 z y 2 取后侧.

y 2 2 D yz : y z 2 2

zoy

高等数学

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2 2 2 ( x z ) d y d z ( x z ) d y d z ( x z )d yd z 1 2

( 2

z y z ) d y d z2 2 D yz

( 2 z y 2 z 2 ) d y d zD yz

2 2 z y 2 d y d zD yz2

2 d y 1 2

2 y2

2 z y d z 4 2

2

原式 4 ( 4 ) 8 .高等数学目录 上页 下页 返回 结束15

例3. 计算 ( x y ) d y d z ( y z ) d z d x ( z x) d x d y z 其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方 体的整个表面的外侧. 解: 利用对称性. 原式 3 ( z x) d x d y

y

x

a ( x a, y a) : z 的顶部 1 2 2 2 取上侧

a, y a) 的底部 2 : z a ( x 2 2 2 取下侧

3 a 高等数学

( z x) d x d y 2 a ( x) d x d y Dx y 2

Dx y

d xd y目录 上页 下页 返回 结束16

例4. 设S 是球面 2d y d z I 2 x cos x S 解: 利用轮换对称性, 有 2d xd y , 2 z cos z S

的外侧 , 计算 d xd y

z cos 2 z

dzd x d xd y cos 2 y cos 2 z 0 S Sd xd y

I S

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