新课标理科数学第二章第十节变化率与导数、导数的计算

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第十节自 主 落 实 · 固 基 础

变化率与导数、导数的计算

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1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数： ①定义：称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

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____________________为函数y=f(x)在x= x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x=x0.课 后 作 业

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②几何意义：函数f(x)在点x0 处的导数f′(x0)的几何意义 切线斜率 是曲线y=f(x)在点(x ,f(x )处的__________.(瞬时速度就0 0

是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) __________________________.(2)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)=

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______________________________为f(x)的导函数.

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2.基本初等函数的导数公式自 主 落 实 · 固 基 础

原函数 f(x)=xn(n∈Q*)

导函数 f′(x)=_________ n·xn-1 cosx f′(x)=__________ f′(x)=__________ -sinx

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f(x)=sin x典 例 探 究 · 提 知 能

f(x)=cos x

f(x)=ax

f′(x)= ________(a>0) axlna

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f(x)=ex

ex f′(x)=_______1 f′(x)=___________ xln a 1 f′(x)=____________ x

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f(x)=logax

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f(x)=ln x

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3.导数的运算法则 f′(x)±g′(x) (1)[f(x)±g(x)]′=_____________________; f′(x)g(x)+f(x)g′(x) (2)[f(x)·g(x)]′=______________________;

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f′(x)g(x)-f(x)g′(x) f(x) [g(x)]2 (3)[ ]′=_____________________________ g(x)典 例 探 究 · 提 知 能

(g(x)≠0).课 后 作 业

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4.复合函数的导数

设u=v(x)在点x处可导，y=f(u)在点u处可导，则复合 f′(u)·v′(x) 函数f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)=________________.

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1.f′(x)与f′(x0)有何区别与联系？ 【提示】 f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数 f′(x)在x0处的函数值.

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2.曲线y=f(x)在点P0(x0,y0)处的切线与过P0(x0,y0)的典 例 探 究 · 提

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切线，两种说法有区别吗？ 【提示】 切点. 有，前者P0一定为切点，而后者P0不一定为课 后 作 业

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1.(人教A版教材习题改编)某汽车的路程函数是s(t)= 1 2 3 2t - gt (g=10 m/s2),则当t=2 s时，汽车的加速度是 2 ( ) A.14 m/s2 B.4 m/s2 C.10 m/s2 D.-4 m/s2

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【解析】典 例 探 究 · 提 知 能

由题意知，汽车的速度函数为v(t)=s′(t)=课 后 作 业

6t2-gt,则v′(t)=12t-g, 故当t=2 s时，汽车的加速度是v′(2)=12×2-10=14 m/s2. 【答案】菜 单

A

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2.函数y=xcos x-sin x的导数为(

)

A.xsin xC.xcos x 【解析】 【答案】

B.-xsin xD.-xcos x f′(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x. B

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3.已知f(x)=xln x,若f′(x0)=2,则x0等于( A.e2 B.e ln 2 C. D.ln 2 2

)

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【解析】

f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1,

由f′(x0)=2,即ln x0+1=2,解得x0=e.典 例 探 究 · 提 知 能

【答案】

B

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4.(2012·广东高考)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切

线方程为________.

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【解析】

∵y′=3x2-1,∴y′|x=1=3×12-1=2.

∴所求切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0.典 例 探 究 · 提 知 能

【答案】

2x-y+1=0

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求下列函数的导数： (1)y=exsin x; x x (2)y=x-sin cos ; 2 2 ln(2x+3) (3)y= . x2+1

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【思路点拨】 导法则求解.菜 单

(1)利用积的导数运算法则求解，(2)

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先化简再求导，(3)利用商的导数运算法则和复合函数求

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【尝试解答】 (1)y′=(ex)′sin x+ex(sin x)′ =exsin x+excos x. 1 (2)∵y=x- sin x, 2 1 ∴y′=1- cos x. 2 (3)y′= (ln(2x+3))′(x2+1)-ln(2x+3)(x2+1)′ = 2 2 (x +1)

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(2x+3)′ · 2+1)-2xln(2x+3) (x 2x+3 (x2+1)2 2(x2+1)-2x(2x+3)ln(2x+3) = . 2 2 (2x+3)(x +1)

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1.本题在解答过程中常见的错误有：(1)商的求导中， 符号判定错误；(2)不能正确运用求导公式和求导法则. 2.求函数的导数的方法 (1)连 乘 积 的 形 式： 先展开化为多项式的形式 ， 再 求

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导；典 例 探 究 · 提 知 能

(2)根式形式：先化为分数指数幂，再求导； (3)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导. (4)不能直接求导的：适当恒等变形，转化为能求导的 形式再求导.菜 单

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