厦门大学网络教育2014-2015学年第一学期《线性代数》复习题答案

厦门大学网络教育2014-2015学年第一学期

《线性代数》复习题 答案

一．

选择题

1. A； 2. B； 3. D; 4. C; 5. B; 6. D; 二．

填空题

1. 24; 2. E A A2

A3

A4

； 3. （0,1,0,0）T

,（-2,0,3,1）T

；5. 6； 6. a﹥5

2

； 7. 25 三．

计算题

010 101 1231. 设 100 A 010 456

求A

001 001 789

010 解 100

是初等矩阵E(1 2) 其逆矩阵就是其本身

001 1 01 010 是初等矩阵E(1 2(1)) 其逆矩阵是 001 10 1 E(1 2( 1))

010

001 A 010 123 10 1

100 456 010

001 789 001

456 123 10 1 452 010 122 789 001 782

2. 向量组(a 3 1)T

(2 b 3)T

(1 2 1)T

(2 3 1)T

的秩为2 求a b

k﹥2； 4.

解 设a1 (a 3 1)T a2 (2 b 3)T a3 (1 2 1)T a4 (2 3 1)T 因为

13 1113 12a2 11

r r

(a3, a4, a1, a2) 233b ~ 01a 1 1 ~ 01a 1 1

1113 01 1b 6 002 ab 5

而R(a1 a2 a3 a4) 2 所以a 2 b 5

3. 在R中取两个基

4

e1 (1 0 0 0)T e2 (0 1 0 0)T e3 (0 0 1 0)T e4 (0 0 0 1)T 1 (2 1 1 1)T 2 (0 3 1 0)T 3 (5 3 2 1)T 3 (6 6 1 3)T (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵 解 由题意知

2

1

( 1, 2, 3, 4) (e1, e2, e3, e4)

1 1

03105321

6 6 1 3

从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为

2

1A

1 1

03105321

6 6 1 3

(2)求向量(x1 x2 x3 x4)T在后一个基下的坐标 解 因为

x1 x1 x x

(e1, e2, e3, e4) 2 ( 1, 2, 3, 4)A 1 2

xx 3 3 x x 4 4

向量 在后一个基下的坐标为

1

y1 2 y2 0 y 5 3 y 6 4

1 1313261

1 0 1 3 x1 129 27 33 x1

x112 9 23 2 1 x2 x 27 9 x 00 18 3 3

7 3 x 926 x4 4

(3)求在两个基下有相同坐标的向量. 解 令

129 27 33 x1 x1

1 112 9 23 x2 x2

00 18 x3 x3 27 9

7 3 926 x4 x4 x1 1

x2 1

解方程组得 k (k为常数)

x1 3

1 x

4

x1 x2 x3 1,

4. 已知线性方程组 x1 x2 x3 ,问当 为何值时，(1)有惟一解；(2)无解；

x x x 2

23 1

(3)有无穷多个解，并在有无穷多解时，求其通解。

解：对增广矩阵作初等行变换，

1

(A,b) 1

1

11

1

1 11 r

0 11

2 02 2 01

1 2 1

2

(1) 当 2 0，且 1 0，即 1且 2时，

R(A) 3 R(A,b)，方程组有惟一解；

(2) 当 2时，R(A) 2,R(A,b) 3，方程组无解； (3) 当 1时，R(A) R(A,b) 1 3，方程组有无穷多个解，

x1 1 1 1 x 0 k 1 k通解为 2 2 0 ，k1,k2为任意常数。 1 x 0 0 1 3

22

5. 设二次型f(x1,x2,x3) 2x12 2x2 ax3 4x1x2 2x1x3 2x2x3，若正交变换

22

X UY可将f化为标准形f y12 2y2，(1) 求a，b的值；(2) 求正交矩 by3

阵U。

221

21 ， 解：二次型的矩阵为A 2 11a

222

(1) 因为正交变换X UY可将f化为标准形f y1，所以矩阵A的特征值 2y2 by3

为 1,2,b，

由A E 0,A 2E 0,得a 1， 由tr(A) 1 2 b，得b 4；

(2) 当a 1时，对应特征值 1，解方程组(A E)X 0，可得η1 对应特征值2，解方程组(A 2E)X 0，可得η2

3

,

,

T3

，

6

,

12

6

,

T612

，

,0，

对应特征值 4，解方程组(A 4E)X 0，可得η3

,

T

1 3

U 因此，所求的正交矩阵为3 1 3

6. 取两个基

16626

.

0

122

x1 (1,2,1)T,x2 (2,3,3)T,x3 (3,7,1)T；y1 (3,1,4)T,y2 (5,2,1)T,y3 (1,1, 6)T，试求坐

标变换公式。

解 设 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)，

( 1, 2, 3) ( 1, 2, 3)A，( , , ) ( 1, 2, 3)A．

T

T

T

1

2

3

TTTTTTTTT

121 351

其中，A 237 ，B 121

131 41 6 x1 x1 B 1A x2 ， 坐标变换公式 x2 x x 3 3

现求BA

1

1237 351123 12

121237 ~ 0 1 2 5 7 18 41 6131 0 7 10 7 9 27

237 121 121237 ~ 0125718 ~ 0125718

00 4 28 40 99 00171099

4

71

120 5 7

4

63

~ 010 9 13 2 99

10 0017

4

181

1319

4

63

B 1A 9 13 ．

2 99 710

4

所以坐标变换公式为

181

1001319

4 63

~ 010 9 13 2 99

10 0017

4

181

1319 4x1 x1 63 x 9 13 2 x2 ．

2 x

99 x3 3

10 7

4

7. 已知实二次型f(x,y) 5x2 4xy 2y2， （1）写出f的矩阵A； （2）求f的秩；

（3）求正交变换X PY（必须写出正交变换矩阵P），把f化为标准形。

52

f 的矩阵 A ；

22

（2）因 A

52

10 4 0，R(A) 2,所以f的秩为2； 22

（3）由 A E

5 2

( 1)( 6)，得A的特征值为 1 1， 2 6。

22

42 21

当 1 1时，解方程(A E)x 0，由A 6E= ～ ，得基础解系

2100

1 ( 1,2)T；

当 12 6时，解方程(A 6E)x 0，由A 6E=

2 T

2 (2,1)

； 把 1,

2单位化，得p 1 1

2 ，

p2

2 1

2 4 ～ 1 0

2

0 ，得基础解系