运筹学 线性规划应用案例

投资组合某人有一笔50万元的资金可用于长期 投资,可供选择的投资机会包括购买国库券 、公司债券、投资房地产、购买股票或银 行保值储蓄等。不同的投资方式的具体参 数如下表。投资者希望投资组合的平均年 限不超过5年，平均的期望收益率不低于 13%,风险系数不超过4,收益的增长潜 力不低于10%。问在满足上述要求的前提 下投资者该如何选择投资组合使平均年收 益率最高？

序 投资方式 投 资 期 年收益 风 险 增长潜 号 限(年)率% 系数 力% 1 国库券 3 10 6 2 1 5 0 11 15 25 20 10 12 3 1 3 8 6 1 2 0 0 15 30 20 5 10 0

2 公司债券 3 房地产 4 股票 5 短期存款 6 长期储蓄 7 现金存款

解：设xi为第I种投资方式在总投资额中的比例， 则模型如下： Max S= 11x1+15x2 +25x3 +20x4+10x5 +12x6+3x7 s.t. 3x1+10x2 + 6x3+ 2x4+ x5+ 5x6 5 11x1+15x2+25x3+20x4+10x5+12x6+3x7 13 x1+ 3x2 + 8x3 + 6x4+ x5+ 2x6 4 15x2 +30x3 +20x4+5x5 +10x6 10 x1+ x2 + x3 + x4 + x5 + x6+ x7 = 1 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 0

模型的目标函数反映的是平均收 益率最大，前四个约束分别是对投资 年限、平均收益率、风险系数和增长 潜力的限制。最后一个约束是全部投 资比例的总和必须等于1.

最优解：X1=0.57143 X3=0.42857 平均年收益率=17% 即： 投资国库券=0.57143*50=29万元 投资房地产=0.42857*50=21万元 投资年限=4.28571年 平均年收益率=17% 风险系数=4 增长潜力=12.8571%

电网规划问题- 线性潮流估计模型 模型所需数据： 现有电力网络结构，包括走向、长度、输 送容量的限制； 可能的电力网络建设路径，即哪些节点间 允许架设新线路，包括新增的电源和负荷 节点； 规划水平年各电源点发电能力及各负荷点 负荷水平； 现有线路年平均损耗系数，新建线路投资 效益系数加损耗系数等经济指标。

规划变量-原有及新建线路输电功率 目标函数-以全网年计算费用最小' minZ [ Lij ( P0ij P0 ji )lij Gij ( Pij Pji )lij ] i 1 j i 1 n 1 n

公式中：n——网络节点总数； P0ij、P0ji——现有线路输电功率(MW); Pij、Pji——新建线路输电功率(MW); lij、lij′——原有及新建线路长度(km); Lij—原有线路的损耗系数(万元/MW.km.年); Gij——新建线路的投资乘以效益系数再加损耗 系数(万元/MW.km.年)。

约束条件-节点功率平衡Ai Dk

(Pj 1 n j 1

n

0ij

P0ji Pij Pji )0kj

( P n2 k 1

P0jk Pkj Pjk )

Ai 1

n1

i

D

k

公式中：Ai——电源点i的发电功率； Dk——负荷点k的负荷功率； n1——电源点数；n2——负荷点数。

约束条件-线路通过能力的限制

P0ij+P0ji Mij Mij—线路ij的通过

能力。 其他约束 P0ij、P0ji、Pij、Pji 0,P0ij×P0ji=0,

Pij×Pji=0 如果解出最优分配Pij=Pji=0,则说明ij线路 不必架设。

例: 规划目的是寻找节点6新电厂接入系统 最优方案。

节点 1 2 3 4 5 6

发电容量 负荷(MW) (MW) 50 80 240 165 40 160 240 545(新电厂) 0

电网规划问题-直流潮流法模型 模型所需数据： 规划水平年电源位置、容量及出力； 规划水平年负荷及其分布； 现有电力网结构，主干线走向、长度、电压等 级及电抗值； 可能修建新线的上列参数及投资； 各线路在正常运行条件下及系统“N-1”事故状 态下的输送容量限制值。 在上列条件下，该法首先求出正常运行下输电 网络需要架设的线路路径和回路数，然后进行 “N-1”的安全检验，求出“N-1”事故情况下需 要增加的线路。

目标函数：Min Z = CT Bl 约束条件：| l0 +ATS Bl | l* B l 0 其中：C——各支路增加单位电纳投资； l0——各支路原始相角差； l*—— 各支路允许相角差； Bl——各支路 电纳增量；

例 规划目的是寻找节点6新电厂在正常运行 及“N-1”事故状态下接入系统的最优方案。 节点 1 2 3 4 5 6 发电容量(MW)负荷(MW) 50 80 240 165 40 160 240 545(新电厂) 0

发电机组燃料优化管理模型 在当前电煤供应不足的情况下，难于 购买到完全符合锅炉燃烧特性的煤种， 煤质的变化会改变电厂发电成本的变 化，而其中大部分为燃料成本的变化。 发电厂面临煤种的选择问题，选择哪 种煤炭？其比例多少？才能最大限度 地降低发电成本，提高经济效益。