长郡中学理科实验班招生考试数学试卷

长郡中学理科实验班招生考试数学试卷

满分：100 时量：70min 一、选择题（本题有8小题，每小题4分，共32分） 1．函数y ＝1x -图象的大致形状是 （ ） A B C D 2．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为 （ ） A 、21 B 、π63 C 、π93 D 、π33 3．满足不等式3002005<n 的最大整数n 等于 （ ） （A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）11 4．甲、乙两车分别从A ，B 两车站同时开出相向而行，相遇 后甲驶1小时到达B 站，乙再驶4小时到达A 站. 那么， 甲车速是乙车速的 （A ）4倍 （B ）3倍 （C ）2倍 （D ）1.5倍 5．图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2， 3，4，那么，阴影三角形的面积为 （ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 6．如图，AB ，CD 分别是⊙O 的直径和弦，AD ，BC 相交于点E ，∠AEC=α， 则△CDE 与△ABE 的面积比为 （ ） （A ）cos α （B ）sin α （C ）cos 2α （D ）sin 2α 7．两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里. 这时，设咖啡杯里的奶油量为a ，奶油杯里的咖啡量为b ，那么a 和 b 的大小为 （ ） （A ）b a > （B ）b a < （C ）b a = （D ）与勺子大小有关

8．设A ，B ，C 是三角形的三个内角，满足B C B A 23,53<>，这个三角形是 （ ）

（A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）都有可能

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

9． 用数字1，2，3，4，5，6，7，8不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：

1＋□＋□=9＋□＋□=8＋□＋□=6＋□＋□

10．如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边

形的顶点O 是正三角形的中心，则四边形OABC 的面积等于 ______ .

11．计算：6226

33++++= ________ . y x O y x O y x O y x O ……………..………….密………………..…………….封……………………………..线…………………….

12．五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛1场，并且只比赛一场），当赛程进行到某天时，A 队已赛了4场，B 队已赛了3场，C 队已赛了2场，D 队已赛了1场，那么到这天为止一共已经赛了 __ 场，E 队比赛了 ___ 场.

13．已知∠AOB=30°,C 是射线OB 上的一点，且OC=4，若以C 为圆心，半径为r 的圆与射线OA 有两个不同的交点，则r 的取值范围是_____________

14．如图，△ABC 为等腰直角三角形，若

AD=31AC ，CE=3

1BC ，则∠1 __ ∠2 （填“>”、“<”或“=”）

三．解答题（共38分） 15. （１２分）今年长沙市筹备60周年国庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B ，两种园艺造型共50个摆放在五一大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．

（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．

（2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？

１６．（１２分）如图，ABC △是O e 的内接三角形，AC BC =，D 为O e 中»

AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =．

（1）求证：AE BD =；

（2）若AC BC ⊥，求证：2AD BD CD +=

．

（第14题）

Ｅ Ａ Ｏ Ｂ

１７．（１４分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；

（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC ？

（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

参考答案

选择题 D C D C C C C B

9． 1

10． 33 11． 2

6 12． 6场，2场 13．2r <≤ 14．＝

1５．（１）解：设搭配A 种造型x 个，则B 种造型为(50)x -个，依题意，得： 8050(50)34904090(50)2950x x x x +-??+-?≤≤ ，解这个不等式组，得：3331x x ???

≤≥，3133x ∴≤≤ x Q 是整数，x ∴可取313233，，，∴可设计三种搭配方案：

①A 种园艺造型31个 B 种园艺造型19个

②A 种园艺造型32个 B 种园艺造型18个

③A 种园艺造型33个 B 种园艺造型17个．

（2）应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元

１６．证明：（1）在ABC △中，CAB CBA ∠=∠．

在ECD △中，CAB CBA ∠=∠．

CBA CDE ∠=∠Q

，（同弧上的圆周角相等），ACB ECD ∴∠=∠． ACB ACD ECD ADE ∴∠-∠=∠-∠．ACE BCD

∴∠=∠．

在ACE △和BCD △中，

ACE BCD CE CD AC BC ∠=∠==；；

ACE BCD ∴△≌△．AE BD ∴=．

（2）若AC BC ACB ECD ∠=∠Q ⊥，．

9045ECD CED CDE ∴∠=∴∠=∠=o o ，．

DE ∴=，又AD BD AD EA ED +=+=Q

AD BD ∴+=

１７．解：（1）t =（50＋75＋50）÷5=35（秒）时，点P 到达终点C ． 此时，QC=35×3=105，∴BQ 的长为135－105=30．

（2）如图8，若PQ ∥DC ，又

AD ∥BC ，则四边形PQCD

为平行四边形，从而PD=QC ，由QC=3t ，BA+AP=5t

得50＋75－5t=3t

，解得t=1258． 经检验，当t=1258时，有PQ ∥DC ． （3）①当点E 在CD 上运动时，如图9．分别过点A 、D 作AF ⊥BC 于点F ，DH ⊥BC 于点H ，则四边形 ADHF 为矩形，且△ABF ≌△DCH ，从而 FH= AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40． Q Q C

DH=4t．

又QC=3t，从而QE=QC·tanC=3t·

CH

（注：用相似三角形求解亦可）

QE·QC=6t2；

∴S=S⊿QCE =1

2

②当点E在DA上运动时，如图8．过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC－CH=3t－30．

(ED＋QC)DH =120 t－600．

∴S= S梯形QCDE =1

2

（4）△PQE能成为直角三角形．